Відповідь:
Пояснення: розглянемо даний вираз як функцію f(x)=x²-12x+38
представимо вираз у вигляді рівняння і знайдемо його корені .
Треба знайти дискримінант
D= 12²-4*1*38=144-152= - 8
дискримінант від'ємний, це означає , що коренів немає. Корені такого рівняння - це точки перетину з осями х . Вони відсутні.
Це означає , що графік параболи такого виразу знаходиться вище осі ОХ , що в свою чергу доводить, область значень для такої функції при любому х завжди >0, тобто вираз х2-12х+38 набуває додатних значень при всіх значеннях х.
Находим первую производную функции:
y' = (x-5)² * (e^x) + (2x - 10) * (e^x)
или
y' = (x - 5) * (x - 3) * (e^x)
Приравниваем ее к нулю:
(x - 5) * (x - 3) * (e^x) = 0
e^x ≠ 0
x - 3 = 0, x₁ = 3
x - 5 = 0, x₂ = 5
Вычисляем значения функции
f(3) = - 7+4 * e³
f(5) = - 7
ответ: fmin = -7, fmax = - 7+4 * e³
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = ( x - 5)² * (e^x) + 2 * (2x - 10) * (e^x) + 2 * (e^x)
или
y'' = (x² - 6x + 7) * (e^x)
Вычисляем:
y''(3) = - 2 * (e³) < 0 - значит точка x = 3 точка максимума функции.
y''(5) = 2 * (e⁵) > 0 - значит точка x = 5 точка минимума функции.