lg(ax) = 2lg(x+1) ⇔ lg(ax) = lg(x+1)² ⇔ ax = (x+1)² ⇔ ax = x²+2x+1 ⇔ x² + (2 -a)*x +1 =0 (2) Уравнение (2) имеет решение ,если D =(2-a)² - 4 = a² - 4a =a(a - 4) ≥ 0, т.е. , если a ∈ ( -∞; 0] ∪ [4 ; +∞). [0] [4] x₁ = (a - 2 - √(a² - 4a) ) /2 , * * * x₂ +1 = (a - √D) /2 * * * x₂ = (a - 2+√(a² - 4a) ) /2) . * * * x₂ +1 = (a + √D) /2 * * * При a = 0 ⇒ ax =0 (не выполняется неравенство ax > 0 системы ОДЗ) Уравнение (1) не имеет решение . --- При a = 4 ⇒ x₁ =x₂ =1. Уравнение (1) имеет единственное решение x₁ =x₂ =1 .
a ∈ ( -∞; 0 ) ∪ ( 4 ; +∞) . * * * * * * * * * * * * * * * * * a ∈ ( -∞ ; 0 ) * * * a < 0 * * * {x₁ + x₂ = a -2 < 0 , {x₁ * x₂ = 1 . Оба корня уравнения (2) отрицательны ,следовательно ax₁ > 0 и ax₂ > 0 , но x₁ +1 = (a - √(a²-4a) ) /2 < 0 x₂ +1 = (a + √(a²-4a) ) /2 > 0 Уравнение (1) имеет единственное решение x₂=(a -2+ √(a²-4a)) /2 .
a ∈ ( 4 ; +∞ ) * * * a > 4 * * * {x₁ + x₂ = a -2 > 2 , {x₁ * x₂ = 1 . Оба корня уравнения (2) положительны Уравнение (1) имеет два решения.
ответ: a ∈ [ 0 ; 4) ⇒ нет решения , a ∈ (-∞ ; 0) ∪ {4} ⇒одно решение: x =(a -2+ √(a²-4a)) /2 , a ∈ (4 ; +∞) ⇒ два решения: x₁ = (a -2 - √(a²-4a)) /2 и x₂ = (a -2+ √(a²-4a)) /2 .
№1
| |x| -4| =8
1) |x| - 4 =8
|x| = 8+4
|x| = 12
x₁ = -12; x₂= 12
2) |x| - 4 = - 8
|x| = - 8+4
|x| = - 4 < 0, решений нет, т.к. модуль числа не может быть отрицательным.
ответ: {- 12; 12}
№2
|2|x|-3|+4=12
|2|x|-3| = 12-4
|2|x|-3| = 8
1) 2|x|-3 = - 8
2|x| = - 8 + 3
2|x| = - 5
|x| = -5 : 2
|x| = -2,5< 0, решений нет, т.к. модуль числа не может быть отрицательным.
2) 2|x|-3 = 8
2|x| = 8 + 3
2|x| = 11
|x| = 11 : 2
|x| = 5,5
x₁ = -5,5; x₂ = 5,5
ответ: {- 5,5; 5,5}
№3
-4|5x-3| = -8
|5x-3| = -8 : (-4)
|5x-3| = 2
1) 5x-3 = - 2
5x = -2 + 3
5x = 1
x = 1 : 5
x₁ = 0,2
2) 5x-3 = 2
5x = 2 + 3
5x = 5
x = 5 : 5
x₂ = 1
ответ: {0,2; 1}
№4
-2||x|+5|=24
||x|+5| = 24 : (-2)
||x|+5| = - 12 < 0, решений нет, т.к. модуль числа не может быть отрицательным.
ответ: x∈{∅}