Question

Решить систему 1) 5^(2x+1) > 625 ; 11^(6x^2-10x) = 11^(9x-15) 2) (5^x)^y = 5^21 ; 5^x*5^y = 5^10 ; 3^x > 3^y 3) √x +√y=5 ; x-y =10 4) √x -√y=4 ; x-y =24 5) x+y=2 ; √(x+2) +√(3-y)=3

Answer 1

3. 

√x +√y=5 ;

 x-y =10

Область определения  x≥ 0  ;  y≥ 0

x-y = (√x -√y)( √x +√y)=10  ,

тогда система

√x +√y=5 ;

 (√x -√y)( √x +√y)=10 

подставим √x +√y=5

√x +√y=5 ;

 √x -√y  =2

Решим сложения

2√x = 7 ; √x = 7/2 ; x = 49/4= 12,25

x-y =10 ; y=x-10= 12,25-10= 2,25

ответ  (12,25 ; 2,25)

4. 

√x -√y=4 ;

x-y =24

Область определения  x≥ 0  ;  y≥ 0

x-y = (√x -√y)( √x +√y)=24  ,

тогда система

√x -√y=4 ;

 (√x -√y)( √x +√y)=24 

подставим √x -√y=4

√x -√y=4 ;

 √x +√y  =6

Решим сложения

2√x = 10 ; √x = 5 ; x =25

x-y =24 ; y=x-24= 25-24= 1

ответ  (25 ; 1)

5. 

x+y=2 ;  

√(x+2) +√(3-y)=3

Область определения 

x+2 ≥ 0  ;   x  ≥ -2

3-y≥ 0   ;   3  ≥  y

x-y = (√x -√y)( √x +√y)=24  ,

преобразуем

x+y=2 ;   (x+2)-(3-y) = 1 ; (√(x+2) -√(3-y))* (√(x+2) +√(3-y))  =1

но   √(x+2) +√(3-y)=3

тогда система

√(x+2) -√(3-y)=1/3

√(x+2) +√(3-y)=3

Решим сложения

2√(x+2) =1/3+3=10/3 ;   √(x+2) =5/3 ; x+2 =25/9 ; x=7/9

x+y=2 ;   y=2-x =2-7/9=11/9

ответ  (7/9 ; 11/9)

Answer 2

1)

{  5^(2x+1) > 625   (1)

{ 11^(6x^2-10x) = 11^(9x-15)     (2)

Решим (1)

5^(2x+1) > 625  

5^(2x+1) > 5^4   

Так как 5>1

(2x+1) > 4   

X > 1.5

Решим (2)

11^(6x^2-10x) = 11^(9x-15)    

Основания  равны => степени равны

(6x^2-10x) = (9x-15)    

6x^2-19x+15 = 0

D= 1 ; √D = + / - 1

 X1=(19-1) / 2*6 =1.5  - не подходит  т к X > 1.5

Х2 =(19+1) / 2*6 =5/3

 ОТВЕТ  x = 5/3 

 2)

{ (5^x)^y = 5^21    (1)

{  5^x*5^y = 5^10 (2)

{ 3^x > 3^y             (3)

Решим (3)

3^x > 3^y       Основания  равны , 3>1 => x>y

Решим (1)(2)

{ 5^(xy) = 5^21    (1)

{  5^(x+y) = 5^10 (2)

Основания  равны => степени равны

{ xy = 21    (1)

{  x+y = 10 (2)  ß    умножим на  х

{ xy = 21            (1)

{  x^2+xy = 10x (2)  ß  вычитаем  (1) из (2)

(x^2+xy) – xy = 10x – 21

X^2 – 10x +21 = 0

D = 16 ; √D = + / - 4

X1=(10-4) /2 = 3 ; y1 =21/x =21/3= 7 – не подходит  x>y

X2 =(10+4) /2 = 7 ; y1 = 21/x =21/7= 3 – подходит x>y

ОТВЕТ   (7 ; 3)