Объяснение:
Даны касательные y₁ = 4·x и y₂ = -9·x к графику функции f(x)=x²+b·x+c.
Пусть прямая y₁ касается к графику функции f(x) в точке x₁, а прямая y₂ касается к графику функции f(x) в точке x₂, то есть:
f(x₁) = y₁(x₁), f'(x₁) = y₁'(x₁) , f(x₂) = y₂(x₂), f'(x₂) = y₂'(x₂) (1).
Так как y₁' = (4·x)' = 4, y₂' = (-9·x) = -9 и f'(x) = (x²+b·x+c)'=2·x+b, то подставляя в уравнения (1) получим 4 уравнения:
x₁²+b·x₁+c = 4·x₁ (2)
2·x₁+b = 4 (3)
x₂²+b·x₂+c = -9·x₂ (4)
2·x₂+b = -9 (5)
Из (3) получим x₁ = (4-b)/2 и подставим в (2):
((4-b)/2)²+b·((4-b)/2)+c = 4·(4-b)/2 или
4-2·b+b²/4+2·b-b²/2+с=8-2·b.
Упростив последнее равенство и получим:
c=4+b²/4-2·b. (6)
Из (5) получим x₂ = (-9-b)/2 и подставим в (4):
((-9-b)/2)²+b·((-9-b)/2)+c = -9·(-9-b)/2 или
81/4+9·b/2+b²/4-9·b/2-b²/2+с=81/2+9·b/2.
Упростив последнее равенство и получим:
c=81/4+b²/4+9·b/2. (7)
Приравниваем выражения (6) и (7):
4+b²/4-2·b = 81/4+b²/4+9·b/2 или
13·b/2 = 4-81/4.
Отсюда
b = (-65/4):(13/2) = -5/2.
Подставим последнее в (6):
c= 4+(-5/2)²/4-2·(-5/2) = 4+25/16+5 = 9+25/16 = 169/16.
b = -5/2
c = 169/16
Объяснение:
y1 = 4x; y2 = -9x
f(x) = x^2 + bx + с
Уравнение касательной в точке (x0; y0):
y(x) = f(x0) + f'(x0)*(x - x0)
В нашем случае точки касания (x1; y1) и (x2; y2) неизвестны
f(x0) = x0^2 + b*x0 + c
f'(x) = 2x + b; f'(x0) = 2x0 + b
y1(x) = x1^2 + b*x1 + c + f'(x1)*(x-x1) = x1^2 + b*x1 + c + (2x1+b)*(x-x1) = x1^2 + b*x1 + c + x(2x1+b) - 2x1^2 - b*x1 = x(2x1+b) + (x1^2 + b*x1 + c - 2x1^2 - b*x1) = 4x + 0
y2(x) = x2^2 + b*x2 + c + f'(x2)*(x-x2) = x2^2 + b*x2 + c + (2x2+b)*(x-x2) = x2^2 + b*x2 + c + x(2x2+b) - 2x2^2 - b*x2 = x(2x2+b) + (x2^2 + b*x2 + c - 2x2^2 - b*x2) = -9x + 0
Составляем систему 4 уравнений:
{ 2x1 + b = 4
{ x1^2 + b*x1 + c - 2x1^2 - b*x1 = 0
{ 2x2 + b = -9
{ x2^2 + b*x2 + c - 2x2^2 - b*x2 = 0
Упрощаем:
{ b = 4 - 2x1
{ c - x1^2 = 0
{ b = -9 - 2x2
{ c - x2^2 = 0
Из 1 и 3 уравнений делаем 1 уравнение, а Из 2 и 4 уравнений делаем 2 уравнение:
{ b = 4 - 2x1 = -9 - 2x2
{ c = x1^2 = x2^2
Из 2 уравнения следует, что: или x2 = x1, или x2 = -x1.
Но из 1 уравнения ясно, что не может быть x2 = x1, потому что 4 не равно -9.
Значит, x2 = -x1, подставляем:
4 - 2x1 = -9 + 2x1
4 + 9 = 2x1 + 2x1
4x1 = 13
x1 = 13/4; x2 = -x1 = -13/4
b = 4 - 2x1 = 4 - 2*13/4 = 4 - 13/2 = -5/2
c = x1^2 = (13/4)^2 = 169/16
Объяснение:
..........