Question

Решите неравенство (1 9/16)^log_7(x+1)>(4/5)^log_1/7(x+3)
если быть точнее
( \frac{4}{5} ) {}^{ log_{ \frac{1}{7} }(x + 3) } " class="latex-formula" id="TexFormula1" src="https://tex.z-dn.net/?f=%281%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B9%7D%7B16%7D%20%29%20%7B%7D%5E%7B%20log_%7B7%7D%28x%20%2B%201%29%20%7D%20%3E%20%28%20%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%20%29%20%7B%7D%5E%7B%20log_%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%20%7D%28x%20%2B%203%29%20%7D%20" title="(1 \times \frac{9}{16} ) {}^{ log_{7}(x + 1) } > ( \frac{4}{5} ) {}^{ log_{ \frac{1}{7} }(x + 3) } ">
и второе

​

Answer 1

ответ: х больше 1

Чуть позже первое решу

Объяснение:

См фото

Answer 2

Для начала рассмотрим первую часть неравенства: (1 9/16)^log_7(x+1) > (4/5)^log_1/7(x+3)

Для упрощения выражения, представим все значения в виде общего основания, а затем применим свойства степеней.

Итак, (1 9/16)^log_7(x+1) > (4/5)^log_1/7(x+3)
можно записать как: (17/16)^log_7(x+1) > (4/5)^log_7(x+3)

Теперь применяем свойства степеней:
log_7((17/16)^(log_7(x+1))) > log_7((4/5)^(log_7(x+3)))

Заметим, что основание логарифма равно 7 для обоих слагаемых. Таким образом, можно просто сравнить показатели степени:

(log_7(x+1))*log_7(17/16) > (log_7(x+3))*log_7(4/5)

Для большего упрощения, приведем дроби к общему знаменателю:

(log_7(x+1))*log_7(17/16) > (log_7(x+3))*log_7(4/5)

Переведем последнее уравнение в вид, удобный для дальнейших вычислений:

(log_7(x+1))*(log_7(17)-log_7(16)) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))

(log_7(x+1))*(log_7(17)-log_7(16)) > (log_7(x+3))*(log_7(4/5))

Теперь раскроем логарифмы и упростим:

(log_7(x+1))*(1-log_7(16)) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))

(log_7(x+1))*(1-log_7(16)) > (log_7(x+3))*(log_7(4/5))

(log_7(x+1))*(1+log_7(16^-1)) > (log_7(x+3))*(log_7(4/5))

(log_7(x+1))*(1+(-log_7(16))) > (log_7(x+3))*(log_7(4/5))

(log_7(x+1))*(1-log_7(16)) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))

(log_7(x+1))*(log_7(1/16)) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))

(log_7(x+1))*(-4) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))

-4*(log_7(x+1)) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))

Перепишем левую часть как -4*log_7(x+1):

-4*log_7(x+1) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства: (4/5)^log_1/7(x+3)

Аналогично, представим все значения в виде общего основания и применим свойства степеней:

(4/5)^log_1/7(x+3) = (5/4)^-log_1/7(x+3)

Применяем свойства степеней:
log_1/7((5/4)^-log_1/7(x+3)) = log_1/7((5/4)^log_7(x+3))

Поскольку основание логарифма равно 1/7, можно сравнить показатели степени:

(log_1/7(x+3))*log_1/7(5/4) > (log_1/7(x+3))*log_1/7(1)

Обратите внимание, что log_1/7(1) равно 0, поэтому неравенство можно упростить:

(log_1/7(x+3))*log_1/7(5/4) > 0

Теперь мы получили два неравенства:



-4*log_7(x+1) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))
(log_1/7(x+3))*log_1/7(5/4) > 0



Чтобы решить эти неравенства, необходимо рассмотреть их отдельно и найти допустимые значения переменной x, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

Например, начнем с второго неравенства:

(log_1/7(x+3))*log_1/7(5/4) > 0

Выражение log_1/7(5/4) больше 0, так как мы имеем положительное число в качестве основания и положительное число в знаменателе дроби. Поэтому неравенство будет выполнено, если (log_1/7(x+3)) > 0.

Теперь рассмотрим первое неравенство:

-4*log_7(x+1) > (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5))

Здесь имеем отрицательный коэффициент -4, поэтому неравенство изменится при умножении обеих сторон на отрицательное число. Таким образом, неравенство будет выполнено, если (log_7(x+1)) < (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5)).

Итак, для того чтобы удовлетворить оба неравенства, необходимо, чтобы (log_1/7(x+3)) > 0 и (log_7(x+1)) < (log_7(x+3))*(log_7(4)-log_7(5)).

Полученные неравенства могут быть решены алгебраически или графически.