Объяснение:
1. log₁₅(51x-1)-log₁₅x=0
ОДЗ: 51x-1>0 51x>1 |÷51 x>1/51 x>0 ⇒ x∈(1/51;+∞)
log₁₅(51x-1)=log₁₅x
51x-1=x
50x=1 |÷50
x=1/50.
2. log²₄x=log₄x⁷-12 ОДЗ: x>0.
log²₄x-7*log₄x+12=0
Пусть log₄x=t ⇒
t²-7t+12=0 D=1
t₁=log₄x=3 x=4³ x₁=64.
t₂=log₄x=4 x=4⁴ x₂=256.
3. log₀,₁v (v)+log₀,₂v (v)=0 ОДЗ: v>0 v≠10 v≠5 ⇒
v∈(0;5)U(5;10)U(10;+∞)
(1/log(v)0,1v)+(1/log(v)0,2v)=0
(log(v)0,2v+log(v)0,1v)/(log(v)0,2v*log(v)0,1v)=0
(log(v)0,2v*log(v)0,1v)≠0 ⇒
(log(v)0,2v+log(v)0,1v)=0
log(v)(0,2v*0,1v)=0
log(v)0,02v²=0
0,02v²=v⁰
0,02v²=1 |÷0,02
v²=50
v₁=√50 ∈ ОДЗ v₂=-√50 ∉ ОДЗ.
4. lglglog₅x=0
lglog₅x=10⁰
lglog₅x=1
log₅x=10¹
log₅x=10
x=5¹⁰ ⇒
¹⁰√5¹⁰=5.
5. 2*lgx/lg(5x-4)=1 ОДЗ: x>0 5x-4>0 5x>4 x>0,8 ⇒ x∈(0,8;+∞).
lgx²=lg(5x-4)
x²=5x-4
x²-5x+4=0 D=9 √D=3
x₁=1 x₂=4.
∑x₁,₂=1+4=5.
1) Дано: 3^(5x-2,5)≤√3, приводим к общему основанию: 3^(5x-2,5)≤3^0,5, т.к. основания одинаковые, работаем только с показателями степени и решаем неравенство: 5x-2,5≤0,5 ⇒ x≤3/5 или x≤0,6
2) Дано: (x²-1)*√(4x+7)≤0
а) Сначала выполняем ОДЗ для подкоренного выражения, которое никогда не бывает меньше нуля: 4x+7≥0 ⇒ x≥-7/4 или x≥-1,75
б) Так как всё неравенство меньше либо равно нулю, то это может быть лишь в том случае, когда x^2-1 либо меньше нуля, либо равно нулю. Зная, что произведение двух чисел равно нулю только когда оба множителя равны нулю, решим второе неравенство:
x²-1≤0, x²≤1 ⇒ x≤ 1 и x ≤ -1
в) Объедением наше решение (x≤ 1 и x ≤ -1) с ОДЗ (x≥-1,75) и получаем, что наш икс лежит в промежутке [-1,75;-1]
ответ: x∈[-1,75;-1]
3) Дано: log_2(x-2)+log_2(x)=0,5log_3(9).
Упростим его до вида: log_2(x-2)+log_2(x)=1 (в правой части получилась единица по свойству логарифмов, показатель 9 можно записать в виде 3² и степень переноситься в множитель логарифма, сокращаясь с 0,5 и в итоге получается log_3(3) либо просто один). Теперь приводим уравнение к общему основанию, логарифмируя единицу:
log_2(x-2)+log_2(x) = log_2(2), log_2(x²-2x) = log_2(2); т.к. в ообоих частях у нас получилось одинаковое основание логарифма 2, то работаем только с выражениями под логарифмом:
x²-2x=2, x²-2x-2=0, решаем как квадратное уравнение по дискриминанту: √D = √(4+8) = √12 = 2√3
Корни данного уравнения: x₁ = 2+√3 и x₂ = 2-√3
(y/x-y + x/x+y) : (1/x^2 + 1/ y^2) - y^4/ x^2-y^2 = (y(x+y)+x(x-y)/(x-y)(x+y))/(x^2+y^2/x^2y^2)-y^4/(x-y)(x+y) = (xy+y^2+x^2-xy/(x-y)(x+y))/(x^2+y^2/x^2y^2)-y^4(x-y)(x+y) = (x^2+y^2/(x-y)(x+y))/(x^2+y^2/x^2y^2)-y^4(x-y)(x+y) = (x^2+y^2)(x^2y^2)/(x^2+y^2)(x-y)(x+y)-y^4/(x-y)(x+y) = x^2y^2/(x-y)(x+y)-y^4/(x-y)(x+y) = x^2y^2-y^4/(x-y)(x+y) = y^2(x^2-y^2)/(x-y)(x+y) = y^2(x-y)(x+y)/(x-y)(x+y) = y^2
Подробнее - на -