Question

В коробке 9 одинаковых авторучек красного и синего цвета. Веро-
ятность того, что среди двух одновременно вынутых из коробки ав-
торучек обе будут красного цвета, равна 1/12. Cколько в коробке авто-
ручек синего цвета?

Answer 1

Для решения данной задачи мы можем использовать принципы комбинаторики.

Предположим, что в коробке находится x авторучек синего цвета.

Всего авторучек в коробке: 9 (красного цвета) + x (синего цвета).

Теперь мы можем рассмотреть все возможные комбинации вытаскивания авторучек из коробки:

1) Красная, Красная: Вероятность такого события равна количеству комбинаций, в которых вытаскиваются две красные авторучки, деленному на общее количество комбинаций. Обозначим это как P(К, К). Количество комбинаций вытаскивания двух красных авторучек будет равно C(9, 2).
P(К, К) = C(9, 2) / (9 + x) * (8 + x)

2) Красная, Синяя: Вероятность такого события можно выразить как P(К, C). Количество комбинаций вытаскивания одной красной и одной синей авторучки будет равно C(9, 1) * C(x, 1).
P(К, C) = C(9, 1) * C(x, 1) / (9 + x) * (8 + x)

Так как вероятность вытаскивания двух красных авторучек равна 1/12, то мы можем записать следующее уравнение:

P(К, К) = 1/12

Распишем значение P(К, К) и подставим значение для C(9, 2):

C(9, 2) / (9 + x) * (8 + x) = 1/12

Далее решим это уравнение:

9! / (2! * (9-2)!) / (9 + x) * (8 + x) = 1/12

9 * 8 / (9 + x) * (8 + x) = 1/12

12 * 9 * 8 = (9 + x) * (8 + x)

864 = 72 + 17x + x^2

Перенесем все элементы на левую сторону:

x^2 + 17x - 792 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем либо применить формулу дискриминанта, либо разложить его на множители.

Применим формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 * 1 * (-792) = 289 + 3168 = 3457

Найдем значения x, используя формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± sqrt(D)) / 2a

x = (-17 ± sqrt(3457)) / 2

x ≈ 15.33 (округлим до ближайшего целого числа)

Таким образом, в коробке должно быть около 15 авторучек синего цвета.