260. Преобразуем тригонометрическое равенство, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов двух выражений:
x^2 - y^2 = (x + y)(x - y);
cos^4(a) - sin^4(a) = 1/8;
(cos^2(a) + sin^2(a))(cos^2(a) - sin^2(a)) = 1/8.
2. Сумма квадратов функций синус и косинус одного и того же аргумента равна единице:
cos^2(a) + sin^2(a) = 1, отсюда:
sin^2(a) = 1 - cos^2(a).
cos^2(a) - sin^2(a) = 1/8;
cos^2(a) - (1 - cos^2(a)) = 1/8;
2cos^2(a) - 1 = 1/8;
2cos^2(a) = 9/8;
cos^2(a) = 9/16;
cosa = ±3/4.
ответ: ±3/4.
{ x + y = 10
{ 1/x + 1/y = 5/12
Из условия понимаем, что ни х, ни у не равны 0, так как иначе не существовало бы обратных им чисел => можно домножить вторую часть системы на ху, чтобы избавиться от дробей:
у + х = 5ху/12
Но из первой части системы мы знаем, что х + у = 10. Получаем:
5ху/12 = 10
5ху = 120
ху = 24
Вывод: x = 24/y
Совместив с первой частью изначальной системы, получаем:
24/у + у = 10
Домножим на у:
24 + у^2 = 10у
у^2 - 10у + 24 = 0
По Виету получаем, что у є {4; 6}
Из xy = 24 получаем, что х є {6; 4}
То есть, выходит два ответа: (4; 6) и (6; 4), но поскольку нам неважен порядок чисел, количество ответов сокращается до одного, и этот ответ: 4 и 6.