Такое уравнение называется возвратным. Оно может быть решено сведением к однородному уравнению. Итак, начинаем:
Для облегчения понимания можно уравнение поделить на , естественно, убедившись перед этим, что и сделав замену Получившееся квадратное уравнение имеет два действительных, но противных корня, которые даже лень выписывать. Обозначим эти корни через p и q, для поиска x получаем два уравнения корни которых очевидно действительны и различны. Мы сделали самое сложное - доказали, что все корни нашего уравнения действительны (и, кстати, различны - это я говорю на тот случай, если кто-то не привык кратные корни подсчитывать, учитывая их кратность). Теперь, не вычисляя эти гадкие корни, воспользуемся теоремой Виета для многочлена 4-й степени, которая утверждает, что корни этого многочлена удовлетворяют следующим условиям (я буду их выписывать в упрощенном виде, используя то, что у нас старший коэффициент равен 1):
для многочлена
Нам потребуются первые два равенства; остальные я написал для коллекции. Имеем:
Обозначим это число N и отнимем от него 8. Это число N - 8 делится на 135 нацело, а на 244 с остатком 51 - 8 = 43. N - 8 = 135*n = 244*m + 43 = (240m + 40) + (4m + 3) Число 135 делится на 5, то есть кончается на 5 или на 0. Составим таблицу чисел вида 4m + 3. m __ =_1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 4m+3 = 7, 1, 5, 9, 3, 7, 1, 5, 9, 3 Чтобы число вида 4m+3 делилось на 5, m должно кончаться на 3 или на 8. Кроме того, число 135 делится на 27. 244*m + 43 = (27*9+1)*m + 27 + 16 = 27*(9m + 1) + (m + 16) Если m + 16 кратно 27, то m = 11, 38, 65, ... Минимальное число m, которое кончается на 3 или 8, и при этом m + 16 кратно 27 - это число 38. m = 38; m + 16 = 54 = 2*27; 4m + 3 = 155 = 5*31 N - 8 = 244m + 43 = 9315 = 135*69; n = 69 N = 244m + 43 + 8 = 9315 + 8 = 9323 = 135*69+8 = 244*38+51 ответ: 9323
Для облегчения понимания можно уравнение поделить на
корни которых очевидно действительны и различны. Мы сделали самое сложное - доказали, что все корни нашего уравнения действительны (и, кстати, различны - это я говорю на тот случай, если кто-то не привык кратные корни подсчитывать, учитывая их кратность). Теперь, не вычисляя эти гадкие корни, воспользуемся теоремой Виета для многочлена 4-й степени, которая утверждает, что корни этого многочлена удовлетворяют следующим условиям (я буду их выписывать в упрощенном виде, используя то, что у нас старший коэффициент равен 1):
для многочлена
Нам потребуются первые два равенства; остальные я написал для коллекции. Имеем:
В нашем случае b=100; c=93, поэтому
ответ: 9814