1.
а) a + 3 < 2a,
а - 2а < -3,
-a < -3,
a > 3
a ∈ (3; +∞)
б) 5 - b < 6b + 4,
-b - 6b < 4 - 5,
-7b < -1,
b > 1/7
b ∈ (1/7; +∞)
2. x² - 4x - 5 ≤ 0
Рассмотрим функцию у = x² - 4x - 5. Графиком данной функции является параола, ветви которой направлены вверх. Выясним, где функция принимает незначения, меньшие или равные 0.
Найдем нули функции у = x² - 4x - 5.
x² - 4x - 5 = 0
D = (-4)² - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36; √36 = 6
x₁ = (4 + 6))(2 · 1) = 10/2 = 5
x₂ = (4 - 6))(2 · 1) = -2/2 = -1
+ - +
||
-1 5
x ∈ [-1; 5]
ответ: [-1; 5].
11 в любой степени кончается на 1. 19 в нечетной степени кончается на 9.
Их сумма кончается на 1+9=10, то есть на 0, а значит, делится на 5.
Осталось доказать, что это число делится на 3.
11=3*3+2; 11^2019 = (3*3+2)^2019 = 2^2019.
Здесь и дальше знак = означает "такой же остаток при делении на 3".
2^2019 = (2^3)^673 = 8^673 = 2^673 = 2^3*2^670 = 8*(2^10)^67 = 2*1024^67 =
= 2*(3*341+1)^67 = 2*1^67 = 2
Таким образом, 11^2019 имеет при делении на 3 остаток 2.
19 = 3*6+1; 19^2019 = (3*6+1)^2019 = 1^2019 = 1.
Таким образом, 19^2019 имеет при делении на 3 остаток 1.
Сумма этих чисел имеет остаток 2+1=3, то есть делится нацело.
Что и требовалось доказать.