Дано:
S=132 км
S(плота)=60 км
v(теч.)=v(плота)=5 км/час
Найти:
v(собств. лодки)=? км/час
РЕШЕНИЕ
1) Скорость плота равна скорости течения реки v(плота)=v(теч.)=5 км/час. К тому времени, когда лодка вернулась на пристань А, плот был в пути: t(время)=S(расстояние)÷v(скорость)=60÷5=12 (часов).
2) Лодка отправилась на 1 час позже, значит она была в пути 12-1=11 часов. Лодка проплыла между пристанями А и В 132 км, и вернулась обратно от пристани В к А, проплыв ещё 132 км.
Пуст х - собственная скорость лодки. По течению моторная лодка плыла со скоростью:
v(по теч.)=v(собств.) + v(теч.)=х+5 км/час
Против течения моторная лодка плыла со скоростью:
v(пр. теч.)=v(собств.) - v(теч.)=х-5 км/час
Время в пути по течению равно: t(по теч.) =S÷v(по теч.)=132/(х+5) часа
Время в пути против течения равно: t(пр. теч.) =S÷v(пр. теч.)=132/(х-5) часа.
Всего на путь туда и обратно ушло 11 часов.
Составим и решим уравнение:
132/(х+5)+132/(х-5)=11 (умножим на (х-5)(х+5), чтобы избавиться от дробей)
132×(х-5)(х+5)/(х+5) + 132×(х+5)(х-5)/(х-5)=11(х+5)(х-5)
132(х-5) + 132(х+5)=11(х²-25)
132х-660+132х+660=11х²-275
264х=11х²-275
11х²-264х-275=0
D=b²-4ac=(-264)²+4×11×(-275)=69696+12100=81796 (√D=286)
х₁=(-b+√D)/2a=(-(-264)+286)/2×11=550/22=25 (км/час)
х₂=(-b-√D)/2a=(-(-264) -286)/2×11=-22/22=-1 (х₂<0 - не подходит)
ОТВЕТ: скорость лодки в неподвижной воде (собственная скорость) равна 25 км/час.
Петру Романову от Михаила Романова
√(х² - 2х + 1) + √(-5х² + 3х + 26) = х - 1
одз найдем
х² - 2х + 1 = (x - 1)² >=0 всегда
-5х² + 3х + 26 =0 D = 9 - 4*(-5)*26 = 529 = 23²
x12 = (-3 +- 23)/10 = 2 -13/5
-(x - 2)(5x + 13) >= 0
(x - 2)(5x + 13) <= 0
[-13/5] [2]
x∈ [-13/5,2]
√(х -1)² + √(-5х² + 3х + 26) = х - 1
|х -1| + √(-5х² + 3х + 26) = х - 1 (модуль)
1. x>=1 x<=2
х -1 + √(-5х² + 3х + 26) = х - 1
√(-5х² + 3х + 26) = 0
x=-13/5 нет < 1
x=2 да > 1
2. x<1 x>=-13/5
1 - x + √(-5х² + 3х + 26) = х - 1
√(-5х² + 3х + 26) = 2х - 2
-5х² + 3х + 26 = (2x - 2)²
-5х² + 3х + 26 = 4²x - 8x + 4
9x² - 11x - 22 = 0
D = 11² - 4*9*(-22) = 121 + 792 = 913
x12 = (11 +- √913)/18
(11 + √913)/18 ≈ 2.2 нет > 1
(11 - √913)/18 ≈ -1.06 да < 1 и > -13/5
ответ x = { (11 - √913)/18, 2}