Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^4-2x^2-8 в точках его пересечения с осью абцисс. найдите точьку пкресечения этих касательных

Answer 1

$f(x) = x^{4}-2x^{2}-8$

Найдём точки пересечения с осью х

$x^{4}-2x^{2}-8=0$

$z = x^{2}$

$z^{2}-2z-8=0$

$D = (-2)^{2}+4\cdot8 = 36$

$x_{1}=\frac{2+6}{2}=4$

$x_{2}=\frac{2-6}{2}=-2$

не подходит, т.к. $x^{2}$ не может быть отрицательным числом

$x^{2}=4$

$x_{1}= -2$

$x_{2}= 2$

Уравнение касательной
$y= f(a) +f'(a)\cdot(x-a)$

Производная функции

$f'(x)= 4x^{3}-4x$

Пусть $a=x_{1}= -2$

Тогда

$f(a)=0$

$f'(a)=f'(-2)=-32+8=-24$

Уравнение касательной

$y_{1}= -24\cdot(x+2)$

$y_{1}= -24x-48$

Пусть $a=x_{2}= 2$
Тогда
$f(a)=0$
$f'(a)=f'(2)=32-8=24$
Уравнение касательной
$y_{2}= 24\cdot(x-2)$
$y_{2}= 24x-48$

Приравняем правые части функций $y_{1}$ и $y_{2}$, чтобы найти точку их пересечения

-24x-48 = 24x-48

х = 0

$y_{2}= 24\cdot(0)-48=-48$

Точка пересечения имеет координаты (0; -48)