Докажи, что последовательность возрастает:
b/n=7n/n+1.
ответ:
1. отметь соотношение, верное для стационарной последовательности:
b1
b1>b2>b3>...>bn>bn+1>...
bn=C
2. Запиши, чему равны следующие члены заданной последовательности после преобразования:
2.1. bn= ... - [.../n+...] (дробь)
2.2. bn+1= ... - [.../n+1...] (дробь)
3. Заданная последовательность возрастает, так как (выбери один знак):
bn (больше/меньше/равно) bn+1.
Дано: последовательность b(n) = 7n / (n + 1)
1. Первым шагом мы должны отметить соотношение, которое верно для стационарной последовательности. Для этого у нас есть пример, где все члены последовательности убывают: b1 > b2 > b3 > ... > bn > bn+1 > .... Затем у нас есть пример, где все члены последовательности возрастают: b1 < b2 < b3 < ... < bn < bn+1 < .... Поскольку мы хотим доказать, что последовательность возрастает, мы выбираем пример со стрелками, указывающими на возрастание членов последовательности: b1 > b2 > b3 > ... > bn > bn+1 > ....
2. Теперь нам нужно записать, чему равны следующие члены заданной последовательности после преобразования.
2.1. bn = 7n / (n + 1) - дробь.
2.2. bn+1 = 7(n+1) / ((n+1) + 1) - дробь.
3. Теперь мы можем приступить к доказательству. Для этого нужно сравнить два члена последовательности, в данном случае bn и bn+1, чтобы определить, какой из них больше, меньше или равен другому.
Мы можем привести bn и bn+1 к общему знаменателю, чтобы легче сравнивать их:
bn = 7n / (n + 1) = 7n / (n + 1)
bn+1 = 7(n+1) / ((n+1) + 1) = 7(n+1) / (n+2)
Теперь сравним bn и bn+1:
Для этого умножим оба числителя на (n+2) и получим:
bn(n+2) = 7n(n+2) / (n+1)
bn+1(n+1) = 7(n+1)(n+2) / (n+2)
Упростим:
bn(n+2) = 7n^2 + 14n / n+1
bn+1(n+1) = 7n^2 + 21n + 14 / n+2
Теперь, чтобы доказать, что последовательность возрастает, нам нужно сравнить числители и знаменатели:
Сравнивая числители, мы видим, что 7n^2 + 14n < 7n^2 + 21n + 14 (потому что 14n < 21n + 14)
А поскольку знаменатели одинаковые (n + 1 = n + 2), мы можем упростить сравнение до:
7n^2 + 14n < 7n^2 + 21n + 14
Убираем повторяющиеся члены (7n^2) с обеих сторон неравенства и получаем:
14n < 21n + 14
Вычитаем 21n с обеих сторон неравенства и получаем:
-7n < 14
Разделяем обе части неравенства на -7 и меняем знак неравенства (с -7n на n > -2):
n > -2
Таким образом, мы доказали, что последовательность b(n) = 7n / (n + 1) возрастает, потому что bn > bn+1, когда n > -2.
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как доказать возрастание данной последовательности. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!