Question

Вычислите:
а) cos 20◦ + cos 40◦ + cos 60◦ + cos 80◦ + cos 100◦ + cos 120◦ + cos 140◦ + cos 160◦

Answer 1

Объяснение:

Для любого n верно:

cos(n) + cos(180-n) = 0

Поэтому, исходная сумма равна 0 (можно сгруппировать: 20+160, 40+140, 60+120, 80+100)

Answer 2

Воспользуемся формулой приведения:

$\cos (180^\circ-\alpha )=-\cos \alpha \\\\\cos 20^\circ+\cos 40^\circ+\cos 60^\circ+\cos 80^\circ+\cos 100^\circ+\\+\cos 120^\circ+\cos 140^\circ+\cos 160^\circ=\\\\=\cos 20^\circ+\cos 40^\circ+\cos 60^\circ+\cos 80^\circ+\cos (180^\circ-80^\circ)+\\+\cos (180^\circ-60^\circ)+\cos (180^\circ-40^\circ)+\cos (180^\circ-20^\circ)=\\\\=\cos 20^\circ+\cos 40^\circ+\cos 60^\circ+\cos 80^\circ-\cos 80^\circ-\\-\cos 60^\circ-\cos 40^\circ-\cos 20^\circ=$

$=(\cos 20^\circ-\cos 20^\circ)+(\cos 40^\circ-\cos 40^\circ)+\\+(\cos 60^\circ-\cos 60^\circ)+(\cos 80^\circ-\cos 80^\circ)=0$

ответ: 0

Answer 3

0

Объяснение:

Покажем, что если α + β = 180°, то имеет место тождество:

cosα+cosβ=0.

Воспользуемся формулой приведения:

cos(180°-α) = -cosα.

Так как α + β = 180°, то β = 180°-α. Тогда

cosα+cosβ=cosα+cos(180°-α)=cosα+(-cosα)=cosα-cosα=0.

В заданном выражении группируем слагаемые так, чтобы сумма аргументов равнялась 180° и применим доказанное тождество:

cos20°+cos40°+cos60°+cos80°+cos100°+cos120°+cos140°+cos160°=

=(cos20°+cos160°)+(cos40°+cos140°)+(cos60°+cos120°)+(cos80°+cos100°)=

=0+0+0+0=0.