Question

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 162, а сумма трёх первых членов равна 156. Найдите первый член b1 и знаменатель прогрессии

Answer 1

Решение:Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $\tt S = \dfrac{b_1}{1-q}$. По условию, значение этого выражения в точности равняется $\emph{162}$.Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна $\tt b_1 + b_1q + b_1q^2$. По условию, это $\emph{156}$.

Получаем систему уравнений:    

$\displaystyle \left \{ {{ \dfrac{b_1}{1-q} = 162} \atop {b_1+b_1q+b_1q^2=156}} \right. ; \;\;\; \left \{ {{ b_1=162-162q } \atop {b_1+b_1q+b_1q^2=156}} \right.$

Проще всего решить такую систему заменой (в полученном уравнении все очень удачно посокращается и мы избежим участи решать полное кубическое уравнение):

$(162-162q)+(162-162q) \cdot q + (162-162q) \cdot q^2 - 156 = 0\\\\(81-81q)+(81-81q) \cdot q + (81-81q) \cdot q^2 - 78 = 0\\\\-81q^3+3=0\\\\81q^3 = 3\\\\q^3=\dfrac{1}{27} \\\\q = \dfrac{1}{3}$

Осталось только $b_1$ найти:

$\displaystyle b_1=162 \cdot (1-q) = 162 \cdot \bigg (1 - \frac{1}{3} \bigg ) = 162 \cdot \frac{2}{3} = 108$

Задача решена!

ответ:

$\large {\boxed {b_1 = 108; \;\;\; q = \frac{1}{3} }}$