Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти уравнение касательной к графику функции y=(x+1)^-3 в точке с абсциссой х1=3.
Для начала, найдем производную функции y=(x+1)^-3. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции, где функция f(x)=(x+1)^-3 представлена в виде f(x)=u^(-n), где u=x+1, n=3. Найдем производную этой функции:
Теперь, чтобы найти уравнение касательной, воспользуемся формулой:
y - y1 = f'(x1)(x - x1)
где (x1, y1) - координаты точки касания, а f'(x1) - значение производной в этой точке.
Из условия задачи мы знаем, что х1=3 и y1=f(3), найдем их значения:
x1 = 3
y1 = f(3) = (3+1)^-3 = (4)^-3 = 1/64
Подставим все значения в формулу и упростим:
y - 1/64 = (-3/(3+1)^4)(x - 3)
y - 1/64 = -3/256(x - 3)
Если касательные проведены к графику функции y=(x+1)^-3 в точках с абсциссами х1 и х2, параллельны, то их производные должны быть равны. То есть, производная в точке х1 должна быть равна производной в точке х2:
-3/(х1+1)^4 = -3/(х2+1)^4
Подставляем значение х1=3:
-3/(3+1)^4 = -3/(х2+1)^4
-3/4^4 = -3/(х2+1)^4
-3/256 = -3/(х2+1)^4
Очевидно, что числители и знаменатели равны, поэтому уравнение преобразуется к виду:
256 = (х2+1)^4
Для решения этого уравнения возьмем корни четвертой степени:
х2+1 = ±(256)^(1/4)
х2+1 = ±4
Избавимся от единицы:
х2 = -1 ± 4
Окончательный ответ:
Если х1=3, то абсцисса х2 может быть равна -5 или 3.
Для начала, найдем производную функции y=(x+1)^-3. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции, где функция f(x)=(x+1)^-3 представлена в виде f(x)=u^(-n), где u=x+1, n=3. Найдем производную этой функции:
f'(x) = (-n)(u^(-n-1))(u') = (-3)((x+1)^-4)(1) = -3/(x+1)^4
Теперь, чтобы найти уравнение касательной, воспользуемся формулой:
y - y1 = f'(x1)(x - x1)
где (x1, y1) - координаты точки касания, а f'(x1) - значение производной в этой точке.
Из условия задачи мы знаем, что х1=3 и y1=f(3), найдем их значения:
x1 = 3
y1 = f(3) = (3+1)^-3 = (4)^-3 = 1/64
Подставим все значения в формулу и упростим:
y - 1/64 = (-3/(3+1)^4)(x - 3)
y - 1/64 = -3/256(x - 3)
Если касательные проведены к графику функции y=(x+1)^-3 в точках с абсциссами х1 и х2, параллельны, то их производные должны быть равны. То есть, производная в точке х1 должна быть равна производной в точке х2:
-3/(х1+1)^4 = -3/(х2+1)^4
Подставляем значение х1=3:
-3/(3+1)^4 = -3/(х2+1)^4
-3/4^4 = -3/(х2+1)^4
-3/256 = -3/(х2+1)^4
Очевидно, что числители и знаменатели равны, поэтому уравнение преобразуется к виду:
256 = (х2+1)^4
Для решения этого уравнения возьмем корни четвертой степени:
х2+1 = ±(256)^(1/4)
х2+1 = ±4
Избавимся от единицы:
х2 = -1 ± 4
Окончательный ответ:
Если х1=3, то абсцисса х2 может быть равна -5 или 3.