Question

ДАЮ МАКСИМУМ! Для каждого значения параметра a определить число решений уравнения:$x^3-6x^2=ax$

Answer 1

Перенесем все влево и вынесем за скобки $x$:

$x^3-6x^2-ax=0,\\\\x(x^2-6x-a)=0$

Из этого следует, что уравнение всегда имеет хотя бы одно решение - $x=0$. Задача сводится к тому, чтобы посмотреть, при каких $a$ будут корни у уравнения $x^2-6x-a=0$ и сколько их будет. Для этого достаточно рассмотреть 2 ситуации.

1) проверим, при каком значении $a$ корнем уравнения $x^2-6x-a=0$ будет $x=0$. Подставляем ноль в уравнение: $0-0-a=0\Rightarrow a=0$. При $a=0$ имеем:

$x(x^2-6x)=0, \\\\x\cdot x(x-6)=0;\\\\x^2(x-6)=0$

Делаем вывод, что при $a=0$ уравнение имеет два корня: $x=0, x=6$.

2) при $a\neq 0$ уравнение $x^2-6x-a=0$ не может иметь корень $x=0$. Уравнение - квадратное. Сразу ищем дискриминант: $D=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-a)=36+4a.$

Здесь рассматриваем 3 случая:

2.1. Если $D$,  то уравнение $x^2-6x-a=0$ решений не имеет - следовательно, вторая скобка не будет давать новых решений и у исходного уравнения оно будет единственным.

2.2. Если $D=0\Rightarrow 36+4a=0\Rightarrow a=-9$, то подставляя вместо параметра -9 в итоге получаем: $x^2-6x+9=0, (x-3)^2=0\Rightarrow x=3$. Итого "вылез" еще один корень - значит, у исходного уравнения их будет два.

2.3. Если $D0\Rightarrow 36+4a0\Rightarrow a-9$, то уравнение $x^2-6x-a=0$ имеет два решения - следовательно, исходное будет иметь уже 3 решения. Заметим, что в это неравенство входит $a=0$, а мы его проверяли отдельно - при $a=0$ корней будет 2, а не 3, поэтому из неравенства его нужно исключить.

ОТВЕТ: При $a$ уравнение имеет единственный корень; при $a=-9$ и $a=0$ уравнение имеет два различных корня; при $a\in(-9; 0)\cup(0; +\infty)$ уравнение имеет три различных корня.