Question

Найдите наименьшее значение функции

у = 2 sin х +25х + 9 на отрезке [ - 3π/2; 0]

​

Answer 1

Для нахождения наименьшего значения функции у = 2sinx + 25x + 9 на заданном отрезке [-3π/2, 0], мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем критические точки функции, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Для этого возьмем производную от функции y = 2sinx + 25x + 9:

y' = 2cosx + 25.

Теперь приравняем полученное выражение к нулю и решим полученное уравнение относительно x:

2cosx + 25 = 0.

Перенесем 25 на другую сторону:

2cosx = -25.

Разделим обе части на 2:

cosx = -25/2.

Теперь найдем все значения x от -3π/2 до 0, при которых cosx равен -25/2.

Одно из таких значение находится в интервале (-π/2, 0), а именно -arccos(-25/2).

Шаг 2: Определим значения функции y = 2sinx + 25x + 9 в найденных критических точках и на концах отрезка.

y(-3π/2) = 2sin(-3π/2) + 25(-3π/2) + 9 = -2 - 37.5π + 9 = 7 - 37.5π.

y(-arccos(-25/2)) = 2sin(-arccos(-25/2)) + 25(-arccos(-25/2)) + 9.

Окончательное значение y можно найти, используя функцию синуса и арккосинуса, подставив найденное значение x.

y(0) = 2sin(0) + 25(0) + 9 = 0 + 0 + 9 = 9.

Шаг 3: Сравним найденные значения функции на критических точках и на концах отрезка, чтобы определить наименьшее значение функции.

Сравним значения функции:

y(-3π/2) = 7 - 37.5π,
y(-arccos(-25/2)),
y(0) = 9.

Мы видим, что значение функции на точке x = 0, y(0) = 9, является наименьшим значением функции на заданном отрезке [-3π/2, 0].

Таким образом, наименьшее значение функции у = 2sinx + 25x + 9 на отрезке [-3π/2, 0] равно 9.