Question

Знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку:

y=x⁴-2x³+3, xє[-3,2]

Answer 1

Для начала, нужно найти значения функции при конечных точках заданного промежутка.

1. Найдем значение функции при x = -3:
y = (-3)^4 - 2(-3)^3 + 3
= 81 - 2(-27) + 3
= 81 + 54 + 3
= 138

2. Найдем значение функции при x = 2:
y = 2^4 - 2(2)^3 + 3
= 16 - 2(8) + 3
= 16 - 16 + 3
= 3

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, нужно учесть экстремальные точки функции. Для этого найдем производную функции и решим уравнение f'(x) = 0.

функция f(x) = x^4 - 2x^3 + 3

1. Найдем производную функции:
f'(x) = 4x^3 - 6x^2

2. Решим уравнение f'(x) = 0:
4x^3 - 6x^2 = 0
2x^2(2x - 3) = 0

Рассмотрим каждый множитель отдельно:
а) 2x^2 = 0
x = 0

б) 2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

Теперь рассмотрим значения функции в найденных экстремальных точках и конечных точках промежутка:

1. Подставим x = -3 в функцию:
y = (-3)^4 - 2(-3)^3 + 3
= 138

2. Подставим x = 0 в функцию:
y = (0)^4 - 2(0)^3 + 3
= 3

3. Подставим x = 3/2 в функцию:
y = (3/2)^4 - 2(3/2)^3 + 3
= (81/16) - 2(27/8) + 3
= 81/16 - 27/4 + 3
= 81/16 - 108/16 + 3
= -27/16 + 48/16 + 3
= 21/16 + 48/16
= 69/16

4. Подставим x = 2 в функцию:
y = (2)^4 - 2(2)^3 + 3
= 3

Теперь можно сделать выводы:
- На заданном промежутке [-3,2] наименьшее значение функции равно 3 и достигается при x = 0 и x = 2.
- На заданном промежутке [-3,2] наибольшее значение функции равно 138 и достигается при x = -3.