![f(x)=x^2+\dfrac{8\cdot 20^2}{x}+20\\\\f'(x)=2x+\dfrac{-8\cdot 20^2}{x^2}=\dfrac{2x^3-8\cdo00t 20^2}{x^2}=\dfrac{2(x^3-1600)}{x^2}=0\\\\\\x^3-1600=0\ \ ,\ \ x=\sqrt[3]{1600}\ \ ,\ \ x=4\sqrt[3]{25}\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(4\sqrt[3]{25})+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \searrow \qquad \ \ \ \ \ \ \ \nearrow \\\\x_{min}=4\sqrt[3]{25}\ \ ,](/tpl/images/1346/9924/a1925.png)
![y_{min}=16\cdot 5\sqrt[3]5+\frac{3200}{4\sqrt[3]{25}}+20=\dfrac{1600+3200}{4\sqrt[3]{25}}+20=\dfrac{1200}{\sqrt[3]{25}} +20=\\\\=\dfrac{20(60+\sqrt[3]{25})}{\sqrt[3]{25}}\approx 430,39](/tpl/images/1346/9924/c9758.png)
Доказательство:
Если предположить, что в условии описка, что в правой части равенства 10a^2(a-3)^2, доказательство может быть следующим.
Упростим левую часть равенства:
(a^2-6a+9)(a^3-5a^2+3)-(a^2-6a+9)(a^3-15a^2+3) = (а - 3)^2•(a^3-5a^2+3) - (а - 3)^2•(a^3-15a^2+3) =
вынесем общий множитель (а - 3)^2 за скобку
= (а - 3)^2•( (a^3-5a^2+3) - (a^3-15a^2+3) ) =
Упростим разность, раскроем скобки
= (а - 3)^2•(a^3-5a^2+3 - a^3+15a^2-3) = (а - 3)^2•10a^2 = 10a^2(a-3)^2.
Так как
10a^2(a-3)^2 = 10a^2(a-3)^2 при всех допустимых значениях переменных, то данное равенство является тождеством, ч.т.д.
