Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=-x⁴/27+x²/8-2x+5 в точке с абциссой x=3.(желательно в письменном виде)​​​

Answer 1

y = -4x + 11

Объяснение:

Уравнение касательной имеет вид

у = f(a) + f'(a) (x - a)

f(x) = - x⁴/27 + x²/3 --2x + 5

a = 3

f'(x) = - 4x³/27 + 2x/3 - 2

f(a) = - 3⁴/27 + 3²/3 --2·3 + 5 = -3 + 3 - 6 + 5 = -1

f'(a) = - 4· 3³/27 + 2 · 3/3 - 2 = - 4 + 2 - 2 = -4

y = -1 - 4 (x - 3)

y = -1 - 4x + 12  

y = -4x + 11

Answer 2

//Пользователь допустил опечатку, когда давал задание. Поэтому он попросил решить

$\displaystyle f(x)=\frac{-x^4}{27}+\frac{x^2}{3}-2x+5$вместо $\displaystyle f(x)=\frac{-x^4}{27}+\frac{x^2}{8}-2x+5$

Уравнение касательной имеет вид:

$\displaystyle \boxed{y_k=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)}$

Наша функция имеет вид:

$\displaystyle f(x)=\frac{-x^4}{27}+\frac{x^2}{3}-2x+5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_0=3$

Сначала найдём производную нашей ф-ции:

$\displaystyle f'(x)=-\frac{4x^3}{27}+\frac{2x}{3}-2$

Найдём значение производной в данной точке:

$\displaystyle f'(3)=-\frac{4\cdot 3^3}{27}+\frac{2\cdot 3}{3}-2= -4-2+2= -4$

Найдём значение ф-ции в заданной точке:

$\displaystyle f(3)=-\frac{3^4}{27}+\frac{3^2}{3}-2\cdot 3 + 5 = -3+3-6+5=-1$

Наша касательная имеет вид:

$\displaystyle y_k=(-4)\cdot(x-3)+(-1)=-4x+12-1= -4x+11$