Question

Интегралы Найдите первообразную функции f(x) = 4x3 - 3x2 – 1, проходящую через точку А(2;-8).

Answer 1

$f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 1\quad \quad A\,(2;\, -8)\\\\\\F(x)=\displaystyle \int\limits {f(x)} \, dx = \displaystyle \int(4x^3-3x^2-1)\, dx=\\\\\\=\displaystyle \int4x^3\, dx-\displaystyle \int3x^2\, dx-\displaystyle \int dx=\\\\\\=\frac{4x^{3+1}}{3+1} -\frac{3x^{2+1}}{2+1} -x+C=x^4-x^3-x+C$

Используем условие, что функция первообразной проходит через точку А (2; -8). Вместо "х" подставим "2", вместо "F(x)" - "-8".

$F(x)=x^4-x^3-x+C\\\\-8=2^4-2^3-2+C\\\\-8=16-8-2+C\\\\C=-14$

Окончательно получим:

$F(x)=x^4-x^3-x-14$

Answer 2

Найдем первообразную, у нас табличный случай:

F(x) = 4x - 3x^3/3 + x = 4x - x^3 + x = 5x - x^3 + C;

Мы нашли множество первообразных, где С может быть любым числом. Находим С, подставив вместо х и у соответственно 2 и 9.

5 * 2 - 2^3 + C = 9;

10 - 8 + C = 9;

2 + C = 9;

C = 9 - 2;

C = 7.

F(x) = 5x - x^3 + 7.

Answer 3

F(x) = x⁴ - x³ - x - 14

Объяснение:

Дана функция f(x) = 4·x³ - 3·x² – 1.

Применим формулу из таблицы первообразных

∫(n·xⁿ⁻¹)dx = xⁿ + C.

Находим первообразную от функции

F(x) = ∫(4·x³ - 3·x² – 1)dx =∫(4·x³)dx - ∫3·x²dx – ∫1dx = x⁴ - x³ - x + C.

Находим первообразную от функции проходящую через точку А(2;-8):

F(2) = -8 ⇔ 2⁴ - 2³ - 2 + C = -8 ⇒ C = -8 - 16 + 8 + 2 = -14.