Question

Сумма двух корней уравнения равна 1. Найдите корни уравнения.

Answer 1

$\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}, -\frac{1}{2}$

Объяснение:

Пусть $x_1,x_2,x_3 -$ корни кубического уравнения и $x_1+x_2 = 1.$

Тогда для каждого из корней $x_1,x_2$ выполняются равенства:

$2x^3_1 - x^2_1 - 7x_1 - 3 =0;$

$2x^3_2-x^2_2-7x_2-3=0;$

Сложим эти два равенства:

$2(x_1^3+x_2^3) - (x_1^2+x_2^2) - 7(x_1+x_2) - 6 = 0;$

$2(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x^2_2) - ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2) - 7(x_1+x_2)-6=0;$

$2(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)-((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)-7(x_1+x_2)-6=0;$

С учетом равенства $x_1+x_2=1$ имеем:

$2(1-3x_1x_2)-(1-2x_1x_2)-7-6=0;$

$2-6x_1x_2-1+2x_1x_2-13=0;$

$4x_1x_2 = -12;$

$x_1x_2=-3;$

По теореме, обратной теореме Виета, $x_1,x_2$ - корни квадратного уравнения:

$x^2 -x-3 =0;$

Решая это уравнение, имеем:

$x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{1-\sqrt{13}}{2}$

Исходный кубический многочлен можно представить в виде:

$2x^3 - x^2 -7x - 3 = 2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3);$

$2x^3 - x^2 - 7x - 3 = 2x^3 -2(x_1+x_2+x_3)x^2+2(x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2)x-2x_1x_2x_3.$

Два многочлена тождественно равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях. Тогда $x_3$ можно найти, например, из условия

$x_1+x_2+x_3 = \frac{1}{2} = 1+x_3 = \frac{1}{2} = x_3 = -\frac{1}{2}$