Пусть пользователь А хочет передать пользователю Б сообщение m=10, зашифрованное с алгоритма RSA. Пользователь Б имеет следующие параметры: P=7, Q=11, d=47. Опишите процесс передачи сообщения m пользователю
Хорошо, я с удовольствием объясню процесс передачи сообщения m от пользователя А пользователю Б с использованием алгоритма RSA.
Алгоритм RSA - это криптографический алгоритм, основанный на использовании двух крупных простых чисел - P и Q. RSA был назван по фамилиям трёх изобретателей: Ривеста, Шамира и Адлемана.
Для начала, пользователь Б должен сгенерировать свои ключи - публичный (e, N) и приватный (d), где N = P * Q - произведение двух простых чисел P и Q.
1. Генерация ключей:
- В данном случае мы знаем значения P=7 и Q=11.
- Пользователь Б должен вычислить N, которое равно произведению P и Q: N = P * Q = 7 * 11 = 77.
- Затем пользователя Б должен вычислить значение функции Эйлера от N, обозначенное как φ(N), которое равно (P-1) * (Q-1): φ(N) = (7-1) * (11-1) = 6 * 10 = 60.
- Далее пользователь Б должен выбрать значение d, которое удовлетворяет условию 1 < d < φ(N) и является взаимно простым с φ(N). Здесь пользователь Б выбрал значение d=47.
Таким образом, публичный ключ пользователя Б будет (e, N) = (неопределенное значение, 77), а приватный ключ будет d=47.
2. Отправка публичного ключа:
- Пользователь Б должен передать пользователю А свой публичный ключ (e, N), чтобы пользователь А мог зашифровать сообщение m.
- В данной задаче не указано значение e, поэтому мы можем предположить, что пользователь Б изначально имеет значение e=3.
Теперь, когда пользователь А получил публичный ключ (e, N) = (3, 77) пользователя Б и хочет передать зашифрованное сообщение m=10, мы можем перейти к процессу шифрования.
3. Шифрование:
- Пользователь А применяет формулу шифрования RSA, используя публичный ключ пользователя Б:
C = m^e mod N,
где C - зашифрованное сообщение, m - исходное сообщение, e - публичная экспонента, N - произведение простых чисел P и Q (полученное от пользователя Б).
- Подставляя значения в формулу, получаем:
C = 10^3 mod 77.
- Возведение в степень и беря остаток от деления на 77, получим зашифрованное сообщение C=23.
4. Передача зашифрованного сообщения:
- Пользователь А передает зашифрованное сообщение C=23 пользователю Б.
Теперь пользователь Б, имея свой приватный ключ d=47, может расшифровать полученное сообщение.
5. Расшифровка:
- Пользователь Б применяет формулу расшифровки RSA, используя свой приватный ключ:
m = C^d mod N,
где m - исходное сообщение, C - зашифрованное сообщение, d - приватный ключ, N - произведение простых чисел P и Q (полученное пользователем Б при генерации ключей).
- Подставляя значения в формулу, получаем:
m = 23^47 mod 77.
- Возведение в степень и беря остаток от деления на 77, получим исходное сообщение m=10.
Таким образом, пользователь Б успешно получил исходное сообщение m=10, которое было передано пользователем А и зашифровано алгоритмом RSA.
Алгоритм RSA - это криптографический алгоритм, основанный на использовании двух крупных простых чисел - P и Q. RSA был назван по фамилиям трёх изобретателей: Ривеста, Шамира и Адлемана.
Для начала, пользователь Б должен сгенерировать свои ключи - публичный (e, N) и приватный (d), где N = P * Q - произведение двух простых чисел P и Q.
1. Генерация ключей:
- В данном случае мы знаем значения P=7 и Q=11.
- Пользователь Б должен вычислить N, которое равно произведению P и Q: N = P * Q = 7 * 11 = 77.
- Затем пользователя Б должен вычислить значение функции Эйлера от N, обозначенное как φ(N), которое равно (P-1) * (Q-1): φ(N) = (7-1) * (11-1) = 6 * 10 = 60.
- Далее пользователь Б должен выбрать значение d, которое удовлетворяет условию 1 < d < φ(N) и является взаимно простым с φ(N). Здесь пользователь Б выбрал значение d=47.
Таким образом, публичный ключ пользователя Б будет (e, N) = (неопределенное значение, 77), а приватный ключ будет d=47.
2. Отправка публичного ключа:
- Пользователь Б должен передать пользователю А свой публичный ключ (e, N), чтобы пользователь А мог зашифровать сообщение m.
- В данной задаче не указано значение e, поэтому мы можем предположить, что пользователь Б изначально имеет значение e=3.
Теперь, когда пользователь А получил публичный ключ (e, N) = (3, 77) пользователя Б и хочет передать зашифрованное сообщение m=10, мы можем перейти к процессу шифрования.
3. Шифрование:
- Пользователь А применяет формулу шифрования RSA, используя публичный ключ пользователя Б:
C = m^e mod N,
где C - зашифрованное сообщение, m - исходное сообщение, e - публичная экспонента, N - произведение простых чисел P и Q (полученное от пользователя Б).
- Подставляя значения в формулу, получаем:
C = 10^3 mod 77.
- Возведение в степень и беря остаток от деления на 77, получим зашифрованное сообщение C=23.
4. Передача зашифрованного сообщения:
- Пользователь А передает зашифрованное сообщение C=23 пользователю Б.
Теперь пользователь Б, имея свой приватный ключ d=47, может расшифровать полученное сообщение.
5. Расшифровка:
- Пользователь Б применяет формулу расшифровки RSA, используя свой приватный ключ:
m = C^d mod N,
где m - исходное сообщение, C - зашифрованное сообщение, d - приватный ключ, N - произведение простых чисел P и Q (полученное пользователем Б при генерации ключей).
- Подставляя значения в формулу, получаем:
m = 23^47 mod 77.
- Возведение в степень и беря остаток от деления на 77, получим исходное сообщение m=10.
Таким образом, пользователь Б успешно получил исходное сообщение m=10, которое было передано пользователем А и зашифровано алгоритмом RSA.