Сначала решаем соотв. однородное уравнение, запишем его характеристическое уравнение
\lambda^2-6\lambda+9=0λ
2
−6λ+9=0
имеем случай кратных действительных корней, значит общее решение однородного уравнения
y(x)=C_1*e^{3x}+C_2*x*e^{3x}y(x)=C
1
∗e
3x
+C
2
∗x∗e
3x
Далее применим метод вариации. Тогда
\begin{gathered} \left( < br / > \begin{array}{cc} < br / > e^{3 x} & e^{3 x} x \\ < br / > 3 e^{3 x} & 3 x e^{3 x}+e^{3 x} \\ < br / > \end{array} < br / > \right) * \left( < br / > \begin{array}{c} < br / > C_1'(x) \\ < br / > C_2'(x) \\ < br / > \end{array} < br / > \right)=\left( < br / > \begin{array}{c} < br / > 0 \\ < br / > 9 x^2-12 x+2 \\ < br / > \end{array} < br / > \right) \end{gathered}
⎝
⎛
<br/>
<br/>e
3x
<br/>3e
3x
<br/>
e
3x
x
3xe
3x
+e
3x
<br/>
⎠
⎞
∗
⎝
⎛
<br/>
<br/>C
1
′
(x)
<br/>C
2
′
(x)
<br/>
<br/>
⎠
⎞
=
⎝
⎛
<br/>
<br/>0
<br/>9x
2
−12x+2
<br/>
<br/>
⎠
⎞
Откуда получим
C_1'(x)=-e^{-3x}*x*(9x^2-12x+2), < br / > C_2'(x)=e^{-3x}*(9x^2-12x+2)C
1
′
(x)=−e
−3x
∗x∗(9x
2
−12x+2),<br/>C
2
′
(x)=e
−3x
∗(9x
2
−12x+2)
Интегрированием находим
C_1(x)=-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+A, C_2(x)=e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+BC
1
(x)=−e
−3x
(x
2
−3x
3
)+A,C
2
(x)=e
−3x
(2x−3x
2
)+B
Следовательно общее решение уравнения запишется как (переобозначим константы A и B )
y(x)=(-e^{-3 x}(x^2 - 3 x^3)+C_1)*e^{3x}+(e^{-3 x} (2 x - 3 x^2)+C_2)*x*e^{3x}y(x)=(−e
−3x
(x
2
−3x
3
)+C
1
)∗e
3x
+(e
−3x
(2x−3x
2
)+C
2
)∗x∗e
3x
или
y(x)=C_1*e^{3x}+x*C_2*e^{3x}+x^2y(x)=C
1
∗e
3x
+x∗C
2
∗e
3x
+x
2
Соотв. постоянные для нашей задачи Коши находятся из системы
\left \{ {{y(0)=0} \atop {y'(0)=3}} \right.{
y
′
(0)=3
y(0)=0
Откуда
\left \{ {{C_1=0} \atop {C_2=3}} \right.{
C
2
=3
C
1
=0
1) (х+2)/(3-x)>0
(Х+2)/(х-3)<0
Х=-2; х= 3
Выносим на координатную прямую и ставим знаки на промежутках:
(-беск; -2) +
(-2;3) -
(3; + беск) +
Знак < , значит берем -
ответ: (-2;3)
2) (x-10)/(2-x)<0
(Х-10)/(х-2)>0
Х=10; х=2
Выносим на координатную прямую и ставим знаки на промежутках:
(-беск; 2) +
(2;10) -
(10; + беск) +
Знак >, значит берем +
ответ: (-беск; 2), (10;+беск)
3) (x^2 - 6x)/(x^2 - 6x+9)≥0
Х^2-6х=0 х^2-6х+9=0
Х=0;х=6 х=3
Выносим на координатную прямую и ставим знаки на промежутках:
(-беск; 0] +
[0;3) -
(3; 6] -
[6; + беск) +
Знак >= , значит берем +
ответ: (- беск; 0], [6; +беск)
2,5 (м3) – воды в час проходит через первый кран.
3 (м3) – воды в час проходит через второй кран.
Объяснение:
Басейн наповнюється через два крани . Через 1 год після того, як було відкрито перший кран відкрили й другий кран Через 4 год після того як було відкрито перший кран у басейні стало 19м води а ще через 2 год 30 м води Скількі кубічних метрів води надходить через кожний кран протягом години ?
х – объём воды в час через первый кран.
у - объём воды в час через второй кран.
Перед тем, как в бассейне стало 19 м3 воды, первый кран был открыт сначала 1 час, потом ещё 3 часа, всего 4 часа. Второй кран в этом случае был открыт 3 часа, уравнение:
х*4+у*3=19
Перед тем, как в бассейне стало 30 м3 воды, первый кран был открыт сначала 1 час, потом ещё 3 часа, потом ещё 2 часа, всего 6 часов. Второй кран в этом случае был открыт сначала 3 часа, потом ещё 2 часа, всего 5 часов, уравнение:
х*6+у*5=30
Получили систему уравнений:
4х+3у=19
6х+5у=30
Умножить первое уравнение на -6, второе на 4, чтобы решить систему методом сложения:
-24х-18у= -114
24х+20у=120
Складываем уравнения:
-24х+24х-18у+20у= -114+120
2у=6
у=3 (м3) – воды в час проходит через второй кран.
Теперь подставить значение у в любое из уравнений системы и вычислить х:
4х+3у=19
4х=19-3*3
4х=10
х=2,5 (м3) – воды в час проходит через первый кран.
Проверка:
4*2,5+3*3=10+9=19
6*2,5+5*3=15+15=30, верно.