Question

Найти общее решение..........​

Answer 1

$1)\ \ y^{n}\, dy=x^{2n}\, dx\ \ ,\ \ \ \ \int y^{n}\, dy=\int x^{2n}\, dx\\\\\dfrac{y^{n+1}}{n+1}=\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}+C$

$2)\ \ y''-(n+2)\, y'+2n\cdot y=0\\\\k^2-(n+2)\, k+2n=0\\\\D=(n+2)^2-8n=n^2-4n+4=(n-2)^2\geq 0\\\\Esli\ D0\ ,\ to\ \ \ k_{1,2}=\dfrac{(n+2)\pm |n-2|}{2}\\\\y_{obshee}=C_1\cdot e^{\frac{(n+2)-|n-2|}{2}\, x}+C_2\cdot e^{\frac{(n+2)+|n-2|}{2}\, x}\\\\Esli\ D=0\ ,\ to\ \ n=2\ \ \to \ \ \ k^2-4k+4=0\ \ ,\ \ (k-2)^2=0\ \ ,\ \ k=2\ \to \\\\y_{obshee}=e^{2x}\cdot (C_1+C_2x)$

$3)\ \ y'-ny\cdot ctgx=3nx^2\cdot sin^{n}x\\\\y=uv\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-nuv\cdot ctgx=3nx^2\cdot sin^{n}x\\\\u'v+u\cdot (v'-nv\cdot ctgx)=3nx^2\cdot sin^{n}x\\\\a)\ \ \dfrac{dv}{dx}=nv\cdot ctgx\ \ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=\int n\cdot ctgx\, dx\ \ ,\ \ ln|v|=n\cdot ln|sinx|\ ,\ \ v=sin^{n}x\\\\b)\ \ \dfrac{du}{dx}\cdot sin^{n}x=3nx^2\cdot sin^{n}x\ \ ,\ \ \int du=3nx^2\, dx\ \ ,\ \ u=n\cdot x^3+C\\\\c)\ \ y_{obshee}=sin^{n}x\cdot (n\cdot x^3+C)$

Answer 2

решение на фотографиях

Объяснение:

ОР - общее решение

ДУ - дифференциальное уравнение

ЛДУ - линейное ДУ

ОЛДУ - однородное линейное ДУ