Нам дан прямоугольный треугольник. Вспомним, как можно найти его площадь:
S = 1/2 a*b, где a и b -- катеты треугольника.
Также вспомним теорему Пифагора: C² = A² + B², где С -- гипотенуза, а А и В -- катеты.
Пусть А -- меньший катет, который равен х. Тогда гипотенуза будет равна (х + 9). Чтобы найти второй катет, выразим его из теоремы Пифагора:
В² = С² - А²
Теперь подставим значения:
В² = (x + 9)² - x²
Мы видим формулу разности квадратов, раскроем её:
В² = (x + 9 - x)(x + 9 + x) = 9(2x + 9)
Тогда В = 3√(2х + 9).
Подставим полученные выражения в формулу площади:
S = 1/2 * a * b = 1/2 * x * 3√(2x + 9); S = 60 =>
60 = 1/2x * 3√(2x +9)
120 = 3x√(2x + 9)
x√(2x +9) = 40
Возведём всё в квадрат, чтобы избавиться от корня:
x² * (2x + 9) = 1600
Перемножим:
2x³ + 9x² - 1600 = 0
Чтобы разложить на множители представим 9х как (25х - 16х):
2x³ - 16x² + 25x² - 1600 = 0
Сгруппируем попарно и вынесем общий множитель из каждой пары:
(2x³ - 16x²) + (25x² - 1600) = 0
2x² (x - 8) + 25 (x² - 64) = 0
Разложим разность квадратов во второй скобке:
2x² (x - 8) + 25 (x - 8)(x + 8) = 0
Вынесем общий множитель (х - 8) за скобку:
(x - 8) (2x² + 25 (x + 8) = 0
Раскроем третью скобку:
(x - 8) (2x² + 25x + 200) = 0
x - 8 = 0 или 2x² + 25x + 200 = 0
Рассмотрим оба случая:
1. x - 8 = 0
x = 8
2. 2x² + 25x + 200 = 0
D = b² - 4ac = 625 - 4*400 = 625 - 1600.
Дискриминант отрицательный, значит в данном уравнении корней нет.
Итак меньший катет равен 8, тогда гипотенуза равна:
8 + 9 = 17
А второй катет, или катет В:
3√(2х + 9) = 3√(2*8 + 9) = 3√ (16 + 9) = 3√25 = 3*5 = 15.
ответ: Меньший катет равен 8, гипотенуза равна 17, больший катет равен 15.
стороны 2 м и 7 м,
периметр 18 м
Объяснение:
Пусть одна сторона х м, тогда другая (х+5). Площадь прямоугольника тогда будет равна х(х+5) м². Составим уравнение:
х(х+5)=14
х²+5х-14=0
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b² - 4ac = 5² - 4·1·(-14) = 25 + 56 = 81
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
= (-5 - √8)/12·1 = (-5 - 9)/2 = 
= -7 (не корень, так как длина не может быть отрицательной)
= (-5 + √8)/12·1 = (-5 + 9)/2 = 
= 2 м одна сторона, тогда вторая х+5=2+5=7 м
Периметр (2+7)*2=18 м
Уравнение четвертой степени имеет максимум 4 корня.
Если все они действительные - то согласно правилу знаков Декарта - все они положительные , так как знак коэффициентов меняется 4 раза. ( + - + - + )
Согласно теореме Виетта сумма корней уравнения n - степени равна частному от деления коэффициента при степени n-1 на коэффициент при n - степени с противоположным знаком .
В нашем случае это 26/1 = 26
Определим точки перегиба функции в левой части Уравнения
f"(x) = (x^4-26x^3+160x^2-100x+7)" = 12x^2 - 156x +320
f"(x) =0
12x^2 - 156x +320 =0
x12 = 13/2 +- √561 / 6
x1 ≅ 2.5
x2≅10.4
- Точки перегиба
Все Корни уравнения положительные .
f(0) >0
f(2,5) >0
посмотрим есть ли на интервале от 0 до 2.5 отрицательные значения функции и соответственно 2 корня
f(0,5) = (0.5)^4-26*(0.5)^3+160*(0.5)^2-100*(0.5)+7 = -6.1875
Есть 2 действительных корня .
Посмотрим значение функции за второй точкой перегиба
f(12)= (12)^4-26*(12)^3+160*(12)^2-100*(12)+7 = -2345
При больших X - значение функции положительно ( так коэффициент при 4 степени положительный )
Значит уравнение имеет 4 действительных корня и их сумма по теореме Виетта равна 26