Question

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям

Answer 1

$y''-5y'=10x+3\ \ ,\ \ \ y(0)=2\ ,\ y'(0)=4\\\\1)\ \ k^2-5k=0\ \ ,\ \ k(k-5)=0\ \ ,\ \ k_1=0\ ,\ k_2=5\\\\y_{o.o}=C_1+C_2e^{5x}\\\\2)\ \ f(x)=(10x+3)\cdot e^{0x}\ \ \to \ \ \alpha =0=k_1\ \ \to \ \ r=1\\\\\widetilde{y}=y_{chastn.}=(Ax+B)\cdot x=Ax^2+Bx\\\\\widetilde{y}\, '=2Ax+B\\\\\widetilde{y}\, ''=2A\\\\\widetilde{y}\, ''-5\widetilde{y}\, '=2A-5(2Ax+B)=-10Ax+(2A-5B)=10x+3\\\\x\ \Big|\ \ -10A=10\ \ ,\ \ A=-1\\x^0\Big|\ \ 2A-5B=3\ \ ,\ \ 5B=2A-3\ \ ,\ \ 5B=-5\ ,\ B=-1\\\\\boxed {\widetilde{y}=-x^2-x\ }$

$3)\ \ y_{obshee\, ntodn.}=y_{0.0}+\widetilde{y}=C_1+C_2\, e^{5x}-x^2-x\\\\4)\ \ y'_{obshee\, ntodn.}=5C_2\, e^{5x}-2x-1\\\\ y_{obshee\, ntodn.}(0)=C_1+C_2=2\\\\ y'_{obshee\, ntodn.}(0)=5C_2-1=4\ \ ,\ \ 5C_2=5\ \ ,\ \ C_2=1\ ,\ C_1=2-C_2=1\\\\\boxed{\ y_{chastn.ntjdn.}=e^{5x}-x^2-x+1\ }$

Answer 2

решение на фотографиях