Question

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего начальному условию

Answer 1

$(2x+1)\, y'=4x+2y\\\\y'-\dfrac{2}{2x+1}\cdot y=\dfrac{4x}{2x+1}\\\\y=uv\ ,\ \ y'=u'v \uv'\\\\u'v +uv'-\dfrac{2}{2x+1}\cdot uv=\dfrac{4x}{2x+1}\\\\\\u'v+u\, \Big(v'-\dfrac{2}{2x+1}\cdot v\Big)=\dfrac{4x}{2x+1}\\\\a)\ \ v'-\dfrac{2}{2x+1}\cdot v=0\ \ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=\int \dfrac{2dx}{2x+1}\ ,\ \ ln|v|=ln|2x+1|\\\\v=2x+1\\\\b)\ \ u'\cdot (2x+1)=\dfrac{4x}{2x+1}\ \ ,\ \ \int du=\int \dfrac{4x\, dx}{(2x+1)^2}\ \ ,$

$\int \dfrac{4x\, dx}{(2x+1)^2}=\Big[\ t=2x+1\ ,\ x=\dfarc{t-1}{2}\ ,\ dx=\dfrac{dt}{2}\ \Big]=\\\\=\int \dfrac{(2t-2)\cdot \frac{1}{2}\, dt}{t^2}=\int \dfrac{t-1}{t^2}\, dt=\int \Big(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t^2}\Big)\, dt=\\\\=ln|t|+\dfrac{1}{t}+C=ln|2x+1|+\dfrac{1}{2x+1}+C\ ;\\\\u=ln|2x+1|+\dfrac{1}{2x+1}+C\\\\c)\ \ y=uv=(2x+1)\Big(ln|2x+1|+\dfrac{1}{2x+1}+C\Big)\\\\d)\ \ y(0)=0:\ \ y(0)=1\cdot (ln1+1+C)=0\ ,\ C=-1\\\\y_{chastn.}=(2x+1)\cdot \Big(ln|2x+1|+\dfrac{1}{2x+1}-1\Big)$

$y_{chastn.}=(2x+1)\cdot ln|2x+1|-2x$