Question

Решите систему уравнения (желательно с полным решением) x+y = xy
4xy = x^2+y^2

Answer 1

$(0; 0), (3-\sqrt{3}; 3+\sqrt{3}), (3+\sqrt{3}; 3-\sqrt{3})$

Объяснение:

Пусть $x+y=a, xy=b$. Тогда $x^2+y^2=x^2+2xy+y^2-2xy=(x+y)^2-2xy=a^2-2b$

$\begin{cases} a=b,\\ 4b=a^2-2b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=b,\\ a^2-6b=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=b,\\ a^2-6a=0 \end{cases}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \begin{cases} a=b,\\ \left [ {{a=0} \atop {a=6}} \right. \end{cases} \Rightarrow \displaystyle \left [ {{\left \{ {{a=0,} \atop {b=0}} \right. } \atop {\left \{ {{a=6} \atop {b=6}} \right. }} \right.$

Случай 1: a = b = 0:

$\begin{cases} x+y=0,\\ xy=0 \end{cases} \Rightarrow x=y=0$

Случай 2: a = b = 6:

$\begin{cases} x+y=6,\\ xy=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=6-x,\\ x(6-x)=6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=6-x,\\ x^2-6x+6=0 \end{cases}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \begin{cases} y=3\mp\sqrt{3},\\ x=3\pm\sqrt{3} \end{cases}$