Question

Решить уравнение 2cos²(x -3π/2) - sin(x-π) = 0 ,найти корни принадлежащие отрезку (5π/2;4π)

Answer 1

$2cos^2(x-\dfrac{3\pi}{2})-sin(x-\pi )=0\\\\\star \ \ cos(x-\dfrac{3\pi}{2})=cos(\dfrac{3\pi}{2}-x)=-sinx\ \ \star \\\\\star \ \ sin(x-\pi )=-sin(\pi -x)=-sinx\ \ \star \\\\2(-sinx)^2-(-sinx)=0\\\\2sin^2x+sinx=0\\\\sonx\cdot (2sinx+1)=0\\\\a)\ \ sinx=0\ \ ,\ \ x=\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sinx=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{6}+\pi k\ ,\ k\in Z$

$c)\ \ x\in \Big(\dfrac{5\pi}{2}\, ;\, 4\pi \Big):\ x_1=3\pi \ ,\ x_2=3\pi +\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{19\pi }{6}\ ,\ x_3=4\pi -\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{23\pi }{6}\ .$

Answer 2

Используем формулы приведения и нечетность синуса.

2sin²x+sinx=0; (2sinx+1)*sinx=0;

1) )=0; sinx=0; х=πк  к∈Z

Если к=3; х=3π ∈ (5π/2;4π);

к=4; х=4π ∉(5π/2;4π);

2) 2sinx+1=0; sinx=-1/2; х=(-1)ⁿ⁺¹arcsin(1/2)+πn  n∈Z;

х=(-1)ⁿ⁺¹π/6+πn  n∈Z;

Если n=3, х=3π+π/6=(3 1/6)π ∈ (5π/2;4π);

Если n=4, х=4π-π/6=(3 5/6)π  ∈ (5π/2;4π);