Question

Решить тригонометрическое уравнение: $\frac{sin(6x)}{sin(4x)} =\frac{cos(3x)}{|cos(x)|}$

Answer 1

Раскрываем знак модуля:

Если  cosx >0, то  |cosx|=cosx

уравнение принимает вид:  

$\frac{sin6x}{sin4x} =\frac{cos3x}{cosx}$

$\frac{sin6x}{sin4x} -\frac{cos3x}{cosx}=0$

$\frac{sin6x\cdot cosx-cos3x\cdot sin4x}{sin4x\cdot cosx} =0$

По формуле произведения синуса на косинус:

$sin\alpha \cdot cos\beta =\frac{1}{2}(sin(\alpha +\beta )+\frac{1}{2}(sin(\alpha -\beta ))$

тогда

$\frac{\frac{1}{2}sin7x+\frac{1}{2}sin5x -\frac{1}{2}sin7x-\frac{1}{2}sinx }{sin4x\cdot cosx} =0$

$\frac{\frac{1}{2} (sin5x-sinx)}{sin4x\cdot cosx} =0$

По формуле  разности синусов:

$sin\alpha -sin\beta =2sin\frac{\alpha -\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha +\beta }{2}$

$\frac{sin2x\cdot cos3x}{sin4x\cdot cosx} =0$     ⇒      $\left \{ {{sin2x\cdot cos3x=0} \atop {sin4x\cdot cosx\neq 0}} \right.$

$sin2x=0$            ⇒           $2x=\pi k, k \in Z$          ⇒     $x=\frac{\pi }{2} k, k \in Z$

или

$cos3x=0$          ⇒     $3x=\frac{\pi }{2} +\pi n, n \in Z$         ⇒             $x=\frac{\pi }{6} +\frac{\pi}{3} n, n \in Z$

и

$sin4x\neq 0$          ⇒              $4x\neq \pi m, m \in Z$      ⇒                $x\neq \frac{\pi }{4} m, m \in Z$

и

$cosx\neq 0$      ⇒              $x \neq \frac{\pi }{2} +\pi s, s \in Z$

О т в е т  первого случая c учетом cosx >0:  

  $2\pi n; \pm\frac{\pi }{6} +2\pi k; n, k \in Z$       (  см. рис.1)

Если  cosx <0, то  |cosx|= - cosx

уравнение принимает вид:  

$\frac{sin6x}{sin4x} =-\frac{cos3x}{cosx}$

$\frac{sin6x}{sin4x} +\frac{cos3x}{cosx}=0$

$\frac{sin6x\cdot cosx+cos3x\cdot sin4x}{sin4x\cdot cosx} =0$

По формуле синуса двойного угла

$sin 2\alpha =2 sin \alpha \cdot cos\alpha$

тогда

$\frac{2sin3x\cdot cos3x\cdot cosx+cos3x\cdot 4sinx\cdot cosx\cdot cos2x}{sin4x\cdot cosx} =0$    

$\frac{2cos3x\cdot cosx (sin3x+2sinx\cdot cos2x)}{sin4x\cdot cosx} =0$  ⇒      $\left \{ {{cos3x\cdot cosx\cdot (sin3x+2sinx\cdot cos2x)=0} \atop {sin4x\cdot cosx\neq 0}} \right.$

$cos3x=0$          ⇒     $3x=\frac{\pi }{2} +\pi k, k \in Z$         ⇒             $x=\frac{\pi }{6} +\frac{\pi}{3} k, k \in Z$

или

$cosx=0$      ⇒        $x = \frac{\pi }{2} +\pi m, m \in Z$

или

$sin3x+2sinx\cdot cos2x=0$

так как

$sin3x=3sinx-4sin^3x$

$cos2x=1-2sin^2x$

$3sinx-4sin^3x+2sinx\cdot (1-2sin^2x)=0$

$5sinx=0$       ⇒    $x=\pi n, n \in Z$    

и

$sin4x\neq 0$          ⇒              $4x\neq \pi s, s \in Z$      ⇒                $x\neq \frac{\pi }{4} k, k \in Z$

и

$cosx\neq 0$      ⇒              $x \neq \frac{\pi }{2} +\pi m, m \in Z$

О т в е т  второго  случая c учетом cosx <0    

$\pi + 2\pi n; \pm\frac{5\pi }{6} +\pi k; n, k \in Z$  (  см. рис.2)

О т в е т. Объединяем ответы первого и второго случаев:

$\pi n; \pm\frac{\pi }{6} +\pi k; n, k \in Z$