Question

При каких значениях а уравнение х в 4 + (3а+1) х в квадрате + 0.25=0 имеет два равных корня? Подчеркиваю 2 РАВНЫХ корня

Answer 1

Объяснение:

$x^4+(3a+1)*x^2+0,25=0\\D=(3a+1)^2-4*0,25=0\\9a^2+6a+1-1=0\\9a^2+6a=0\ |:3\\3a^2+2a=0\\a*(3a+2)=0\\a_1=0\ \ a_2=-\frac{2}{3}.$

Подставим а в уравнение:

$1. \ a_1=0\\x^4+(3*0+1)*x^2+0,25=0\\x^4+(0+1)*x^2+0,25=0\\x^4+x^2+0,25=0$

Так как х⁴≥0 и х²≥0  ⇒    х⁴+х²+0,25>0

Таким образом а₁=0 - лишний.

$2.\ a_2=-\frac{2}{3} \\x^4+(3*(-\frac{2}{3})+1)*x^2+0,25=0\\ x^4+(-2+1)*x^2+0,25=0\\x^4-x^2+0,25=0\\(x^2)^2-2*x^2*0,5+0,5^2=0\\(x^2-0,5)^2=0\\x^2-0,5=0\\x^2=0,5=\frac{1}{2} \\x=б\sqrt{\frac{1}{2} } =б\frac{\sqrt{2} }{2} .$

Так как свободный член уравнения положительный    ⇒

$x_1=x_2=\frac{\sqrt{2} }{2} \ \ \ x_3=x_4=-\frac{\sqrt{2} }{2} \ \ \Rightarrow$

ответ: a=-2/3.

Answer 2

Биквадратное уравнение.

Решается заменой переменной:

$x^2=t$

$t^2+(3a+1)t+0,25=0$

$D=(3a+1)^2-4\cdot 0,25=9a^2+6a+1-1=9a^2+6a$

Если  D >0,   т.е.

$9a^2+6a0\\\\3a(3a+2) 0$

$a\in (-\infty; -\frac{2}{3})U(0;+\infty)$

уравнение имеет корни:

$t_{1}=\frac{-(3a+1)-\sqrt{9a^2+6a} }{2}$     или   $t_{2}=\frac{-(3a+1)+\sqrt{9a^2+6a} }{2}$

Обратный переход:

$x^2=\frac{-(3a+1)-\sqrt{9a^2+6a} }{2}$      или     $x^2=\frac{-(3a+1)+\sqrt{9a^2+6a} }{2}$

Уравнение x^2=с  имеет корни, если c> 0, тогда корни противоположны по знаку

Чтобы корни данного уравнения были равны,

с=0

$\frac{-(3a+1)-\sqrt{9a^2+6a} }{2}=0$

$\sqrt{ 9a^2+6a}=-(3a+1)$

Это иррациональное уравнение.

При (3a+1) >0 оно не имеет корней.

При (3а+1) ≤0

возводим обе части уравнения в квадрат:

$9a^2+6a=9a^2+6a+1$

0=1 - неверно, нет таких значений а

Аналогично

$\frac{-(3a+1)+\sqrt{9a^2+6a} }{2}=0$

$\sqrt{ 9a^2+6a}=(3a+1)$

При (3a+1) < 0 оно не имеет корней.

При (3а+1) ≥0

возводим обе части уравнения в квадрат:

$9a^2+6a=9a^2+6a+1$

0=1 - неверно, нет таких значений а

Если   $D=0$, т.е   $9a^2+6a=0$

$a=0$    или      $a=-\frac{2}{3}$

При  $a=0$  

уравнение принимает вид:

$x^4+x^2+0,25=0$

$D=1^2-4\cdot 0,25=0$    ⇒  $x^2=-1$

уравнение не имеет корней

При  $a=-\frac{2}{3}$  

уравнение принимает вид:

$x^4-x^2+0,25=0$

$D=1-4\cdot 0,25=0$     ⇒     $x^2=\frac{1}{2}$

$x=\pm\frac{\sqrt{2} }{2}$

Уравнение 4-ой степени, значит

$x_{1,2}=-\frac{\sqrt{2} }{2}$   и   $x_{3,4}=\frac{\sqrt{2} }{2}$

О т в е т. При $a=-\frac{2}{3}$