Объяснение:
Было число:
X = 1000a + 100b + 10c + d
У него поменяли первую и последнюю цифры, стало:
Y = 1000d + 100b + 10c + a
Потом эти два числа сложили, получилось:
X + Y = 1001a + 200b + 20c + 1001d
И оно делится на 91 = 7*13. Выделим числа, кратные 91, и найдем остаток.
Заметим, что 1001 = 7*11*13 = 91*11, поэтому 1001а и 1001d кратны 91.
X + Y = 91*11a + 91*11d + 91*2b + 18b + 20c
Остаток от деления на 91 равен 18b + 20c. И этот остаток тоже должен делиться на 91.
Так как b и с - однозначные цифры, то 18b + 20c ≤ 18*8+20*9 = 324.
К тому же, число 18b + 20c - четное, и может равняться только 91*2=182.
18b + 20c = 182
9b + 10c = 91.
b = 9; c = 1; 9b + 10c = 9*9 + 10*1 = 91
Это решение - единственное.
Значит, число имело вид:
X = 1000a + 910 + d
Нам надо доказать, что оно НЕ делится на 91.
Ясно, что 910 делится на 91.
Число X может делиться на 91, только если 1000a + d делится на 91.
А это возможно, только если это числа вида: 1001; 2002; ...; 9009.
Во всех случаях a = d, но это неправильно: по условию мы взяли число из 4 разных цифр.
Таким образом, мы доказали, что число
X = 1000a + 100b + 10c + d
Не может быть кратно 91, при заданных в задаче условиях.
Ортогонализуем данный базис (1,2,3) методом Грама-Шмидта:
1=1 2=2−(2,1)(1,1)⋅1=2−(2,1)(1,1)⋅1=2−231 3=3−(3,1)(1,1)⋅1−(3,2)(2,2)⋅2=3−(3,1)(1,1)⋅1−(3,2−231)(2−231,2−231)⋅(2−231)= =3−13⋅1−(3,2)−23(3,1)(2,2)−43(1,2)+49(1,1)⋅(2−231)= =3−13⋅1−1−23⋅12−43⋅2+49⋅3⋅(2−231)=3−13⋅1−12⋅(2−231)=3−12⋅2
Получаем ортогональный базис (1,2−231,3−122).
Составить матрицу Грама в бази-се (1−2,1+2).
Базис (1,2) - ортонормированный, следовательно, (1,1)=(2,2)=1, (1,2)=0.
Находим матрицу Грама в базисе (1−2,1+2):
=((1−2,1−2)(1−2,1+2)(1+2,1−2)(1+2,1+2))= =((1,1)−2(1,2)+(2,2)(1,1)−(2,2)(1,1)−(2,2)(1,1)+2(1,2)+(2,2))= =(1−2⋅0+11−11−11+2⋅0+1)=(2002)