Question

Вычисли наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=6⋅sinx−13⋅cosx. (Перед знаком корня запишите только знак, выносить множитель за знак корня не нужно!)

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобится знание о тригонометрических функциях и их свойствах. Перед тем как начать, посмотрим, какие значения могут принимать синус и косинус.

Синус и косинус - это тригонометрические функции, которые зависят от угла x. Синус x обозначается как sin(x), а косинус x - как cos(x). Значения синуса и косинуса лежат в диапазоне от -1 до 1. То есть sin(x) и cos(x) могут принимать любые значении в интервале от -1 до 1.

Теперь перейдем к вычислению функции y(x). У нас есть функция y(x) = 6⋅sin(x) - 13⋅cos(x). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения этой функции, нам нужно найти значения синуса и косинуса, при которых y(x) будет максимальным и минимальным.

Первым шагом будет поиск максимальных и минимальных значений синуса и косинуса. Синус принимает максимальное значение 1, когда угол x равен 90 градусам или π/2 радианам. То есть sin(π/2) = 1. Косинус же принимает максимальное значение 1 при угле x равном 0 градусам или 0 радианам, то есть cos(0) = 1.

Теперь подставим эти значения в функцию y(x) = 6⋅sin(x) - 13⋅cos(x) и вычислим ее:

y(π/2) = 6⋅sin(π/2) - 13⋅cos(π/2)
= 6⋅1 - 13⋅0
= 6 - 0
= 6

Таким образом, наибольшее значение функции y(x) равно 6.

Аналогично, найдем минимальное значение функции. Минимальное значение синуса -1, при угле x равном -90 градусам или -π/2 радианам (sin(-π/2) = -1), а минимальное значение косинуса равно -1 при угле x равном 180 градусам или π радианам (cos(π) = -1).

Подставим эти значения в функцию:

y(-π/2) = 6⋅sin(-π/2) - 13⋅cos(-π/2)
= 6⋅(-1) - 13⋅(-1)
= -6 + 13
= 7

Таким образом, наименьшее значение функции y(x) равно 7.