Question

Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)= -\frac{x^{4} } {27} -\frac{x^{2}}{3} -2x+7$ в точке этого графика с абсциссой x0= -3

Answer 1

$y=4x+19$

Объяснение:

В точке касания у графика и касательной совпадают значения функции и значения её производной.

$f(x)=-\frac{x^4}{27}-\frac{x^2}{3}-2x+7\\f(x_0)=f(-3)=-\frac{(-3)^4}{27}-\frac{(-3)^2}{3}-2*(-3)+7=-\frac{81}{27}-\frac{9}{3}+6+7=-3-3+6+7=7\\ f'(x)=-\frac{4x^3}{27}-\frac{2x}{3}-2\\f'(x_0)=f'(-3)=-\frac{4*(-3)^3}{27}-\frac{2*(-3)}{3}-2=-\frac{4*(-27)}{27}-\frac{2*(-3)}{3}-2=4+2-2=4$

Пусть касательная имеет вид $y=kx+b$, тогда $y'=k$

$y'(x_0)=f'(x_0) \Rightarrow k=4 \Rightarrow y=4x+b$

$y(x_0)=f(x_0)\Rightarrow y(-3)=f(-3) \Rightarrow-12+b=7 \Rightarrow b=19$

Таким образом получили уравнение касательной $y=4x+19$