Зливок сплаву міді й цинку, який містив 5 кг цинку, сплавили з 15 кг цинку. Відсотковий вміст цинку в но- вому сплаві на 30 % більший, ніж у початковому. Скільки кілограмів міді міститься в зливку?
Числа вида 4n, 4n+1 и 4n+3 представимы в виде разности квадратов: 4n=(n+1)²-(n-1)²; 4n+1=(2n+1)²-(2n)²; 4n+3=(2n+2)²-(2n+1)².
Числа вида 4n+2 не представимы в виде разности квадратов, т.к. иначе 4n+2=a²-b²=(a-b)(a+b). Если а и b имеют разную четность, то а-b и a+b - нечетные числа, и значит (a-b)(a+b) нечетно. Если а и b имеют одинаковую четность, то а-b и a+b - оба четные, и значит (a-b)(a+b) делится на 4. Но число 4n+2 - не является нечетным и не делится на 4. Значит, оно не может быть равно a²-b² ни при каких а и b.
Таким образом, все натуральные числа не представимые в виде разности квадратов имеют вид 4n+2, где n=0,1,2, Так как первое такое число (равное 2) будет при n=0, то трехтысячное число будет при n=2999, т.е. равно 4*2999+2=11998.
Пусть масса сплава равна "х" кг.
Первоначально в сплаве было 5 кг цинка и его доля составляла "5 / х" часть сплава.
После добавления еще 15 кг цинка, его доля стала "(5 + 15) / (х + 15)" часть нового сплава.
Зная, что доля цинка увеличилась на 30%, т.е. на 0,3 часть, оставим уравнение:
(5 + 15) / (х + 15) - 5 / х = 0,3;
(20х - 5х -15) / (х(х + 15)) = 0,3;
15х - 75 = 0,3(х² + 15х);
-0,3х² + 10,5х - 75 = 0;
-3х² + 105х - 750 = 0;
D = 105² - 4 * (-3) * (-750) = 2025;
√D = √2025 = 45;
х = (-105 ± 45) / (-6);
х₁ = 10.
х₂ = 25.
ответ: 10 кг или 25 кг.