Діагоналі рівнобічної трапеції ділять її гострі кути навпіл, а точкою перетину діляться у відношенні 5:13. Знайти площу трапеції, якщо її висота дорівнює 9 см.
Для решения данной задачи посмотрим на рисунок, чтобы было понятнее:
A _______________ B
/| |\
/ | | \
/ | | \
/ | | \
/____|___________ |____\ C
Пусть точка пересечения диагоналей обозначается буквой D.
Из условия задачи известно, что точка D делит каждую из диагоналей в отношении 5:13. Обозначим отрезки, на которые делится каждая диагональ:
AD:DC = 5:13 и DB:BC = 5:13.
Так как диагонали делят гострые углы трапеции пополам, получаем, что углы BDA и ADC, а также углы DAB и CBD равны между собой.
Для решения задачи нам нужно найти площадь трапеции. Формула для нахождения площади трапеции следующая:
S = ((a + b) * h) / 2,
где a и b - основания трапеции, h - ее высота.
В нашем случае известна высота трапеции, равная 9 см. То есть h = 9.
Остается найти длину оснований a и b. Для этого воспользуемся соотношениями отношений длин диагоналей AD:DC = 5:13 и DB:BC = 5:13, так как основания трапеции AD и BC - это отрезки диагоналей.
Используем подобные треугольники:
В треугольнике ABD и DBC у нас есть два угла при вершине D, которые равны, так как мы уже ранее установили, что углы BDA и ADC, а также DAB и CBD равны между собой. Также диагонали делят углы пополам по условию задачи. Это значит, что треугольники ABD и DBC подобны.
Отсюда следует, что отношение их сторон будет также равно: AB:BD = BD:BC = AD:DC.
Так как AD:DC = 5:13, а AD + DC = AC (полная длина одной из диагоналей), то можно записать следующее равенство:
5/13 = AD/DC.
AD + DC = AC.
AD + DC = AB + BC.
Обозначим AD как x, тогда DC будет (AC - x). А AB обозначим как y, BC будет (AC - y).
Теперь у нас есть два уравнения:
(x/(AC - x)) = 5/13 и (y/(AC - y)) = 5/13.
По условию задачи известно, что высота трапеции равна 9 см, то есть h = 9. Подставим значение h в формулу площади трапеции и упростим:
S = ((a + b) * h) / 2.
S = ((x + y) * 9) / 2.
S = ((x + (AC -x)) * 9) / 2.
S = ((2x + AC) * 9) / 2.
S = ((2x + 5AC/18) * 9) / 2.
S = (18x + 5AC/2) / 2.
S = 9x + 5AC/4.
Таким образом, площадь трапеции равна 9x + 5AC/4 по найденным значениям.
N.B. Для окончательного решения задачи необходимо знать длину одной из диагоналей (AC или BD), которую не указана в условии задачи.
A _______________ B
/| |\
/ | | \
/ | | \
/ | | \
/____|___________ |____\ C
Пусть точка пересечения диагоналей обозначается буквой D.
Из условия задачи известно, что точка D делит каждую из диагоналей в отношении 5:13. Обозначим отрезки, на которые делится каждая диагональ:
AD:DC = 5:13 и DB:BC = 5:13.
Так как диагонали делят гострые углы трапеции пополам, получаем, что углы BDA и ADC, а также углы DAB и CBD равны между собой.
Для решения задачи нам нужно найти площадь трапеции. Формула для нахождения площади трапеции следующая:
S = ((a + b) * h) / 2,
где a и b - основания трапеции, h - ее высота.
В нашем случае известна высота трапеции, равная 9 см. То есть h = 9.
Остается найти длину оснований a и b. Для этого воспользуемся соотношениями отношений длин диагоналей AD:DC = 5:13 и DB:BC = 5:13, так как основания трапеции AD и BC - это отрезки диагоналей.
Используем подобные треугольники:
В треугольнике ABD и DBC у нас есть два угла при вершине D, которые равны, так как мы уже ранее установили, что углы BDA и ADC, а также DAB и CBD равны между собой. Также диагонали делят углы пополам по условию задачи. Это значит, что треугольники ABD и DBC подобны.
Отсюда следует, что отношение их сторон будет также равно: AB:BD = BD:BC = AD:DC.
Так как AD:DC = 5:13, а AD + DC = AC (полная длина одной из диагоналей), то можно записать следующее равенство:
5/13 = AD/DC.
AD + DC = AC.
AD + DC = AB + BC.
Обозначим AD как x, тогда DC будет (AC - x). А AB обозначим как y, BC будет (AC - y).
Теперь у нас есть два уравнения:
(x/(AC - x)) = 5/13 и (y/(AC - y)) = 5/13.
Решим первое уравнение:
13x = 5(AC - x).
13x = 5AC - 5x.
18x = 5AC.
Решим второе уравнение:
13y = 5(AC - y).
13y = 5AC - 5y.
18y = 5AC.
По условию задачи известно, что высота трапеции равна 9 см, то есть h = 9. Подставим значение h в формулу площади трапеции и упростим:
S = ((a + b) * h) / 2.
S = ((x + y) * 9) / 2.
S = ((x + (AC -x)) * 9) / 2.
S = ((2x + AC) * 9) / 2.
S = ((2x + 5AC/18) * 9) / 2.
S = (18x + 5AC/2) / 2.
S = 9x + 5AC/4.
Таким образом, площадь трапеции равна 9x + 5AC/4 по найденным значениям.
N.B. Для окончательного решения задачи необходимо знать длину одной из диагоналей (AC или BD), которую не указана в условии задачи.