1) 4x² + 7x + 3 = 0 D = 49 - 4*4*3 = 49 - 48 = 1 √D = 1 x1= ( -7+1)/8 = - 6/8 = - 3/4 x2= ( -7- 1)/8 = - 8/8 = -1 Тогда по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители 4x² + 7x + 3=4(х +1)(х + 3/4) 2) x² + bx +4 = 0 1. Предположим, что уравнение имеет два различных корня, один из которых равен 3, тогда по теореме Виета: х1 +х2 = - b => 3 + х2 = -b => х2 = -b - 3 => х1*х2 = 4 3*х2 = 4 х2 = 4/3 ( пусть х1=3 )
=> -b - 3 = 4/3 -b = 4/3 + 3 -b = 4 1/3 b = - 4 1/3 => при b = - 4 1/3 уравнение имеет два корня, один из которых равен 3.
2.Уравнение имеет два различных корня, если D>0, D = b² - 4*1*4 = b² - 16 b² - 16 > 0 (b - 4)(b + 4) > 0 b < -4 или b > 4 Уравнение имеет два различных корня, если b < -4 или b > 4.
1)найти стационарные точки
f(x)=x^4-200x^2+56
f`(x) = 4x³ - 400x
4x³ - 400x = 0
4x*(x² - 100) = 0
4x = 0, x₁ = 0
x² - 100 = 0
x² = 100
x₂ = - 10
x₃ = 10
ответ: x₁ = 0 ; x₂ = - 10 ; x₃ = 10 - стационарные точки
2) определить интервалы возрастания функций
f(x)=x^3-x^2-x^5+23
1. Находим интервалы возрастания и убывания.
Первая производная.
f'(x) = -5x⁴ + 3x² - 2x
или
f'(x) = x * (-5x³ + 3x - 2)
Находим нули функции.
Для этого приравниваем производную к нулю
x * (-5x³ + 3x - 2) = 0
Откуда:
x₁ = - 1
x₂ = 0
(-1; 0) f'(x) > 0 функция возрастает
3) определить интервалы убывания функций
f(x)=x^3-7,5x^2+1
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3x² - 15x
или
f'(x) = x*(3x - 15)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x*(3x - 15) = 0
Откуда:
x₁ = 0
x₂ = 5
(0; 5) f'(x) < 0 функция убывает
4) вычислить значение функции в точке максимума
f(x)=x^3-3^2-9x+1
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = 3x² - 9
Приравниваем ее к нулю:
3x² - 9 = 0
x² = 3
x₁ = - √3
x₂ = √3
Вычисляем значения функции
f(- √3) = - 8 + 6√3 точка максимума
f(√3) = - 6√3 - 8
fmax = - 8 + 6√3
ответ: fmax = - 8 + 6√3