Question

Корни уравнения x² + ax + b + 1=0 являются натуральными числами. Докажите, a² + b² - составное число.

Answer 1

Объяснение:

По теореме Виета

$(b+1)=x_{1} x_{2}\\a=-(x_{1}+ x_{2})$

Тогда

$a^{2}=(x_{1}+ x_{2})^{2}$

$b^{2} =(x_{1}x_{2}-1)^{2}$

$a^{2} +b^{2} =x_{1}^{2}+x_{2}^{2} +x_{1}^{2} x_{2}^{2} +1=(1+x_{1}^{2})(1+x_{2}^{2})$

Так как корни по условию натуральные, то число $a^{2} +b^{2}$ составное, что и требовалось доказать.