Question

ЗА ПРАВИЛЬНЫЙ И РАЗВЁРНУТЫЙ ОТВЕТ
Найдите функцию обратную для функции
(9 номер)

Answer 1

Объяснение:

$y=-x^2+6x-10$, $D(y)=[3;+\infty)$

данная функция квадратическая, ее график парабола состоит из двух ветвей с общей точкой - вершиной параболы, которые в общем случае делят ее на две подфункции, у каждой из которых своя своя обратная функция

так в базовом виде это для параболы $y=x^2$ вершина (0;0) можно выделить две обратные функции $y=\sqrt{x}; D(y)= [0;+\infty)$ и $y=\sqrt{-x}; D(y)=(-\infty; 0]$

для данной параболы $a=-1;b=6;c=-10$

$x_W=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2*(-1)}=3$

$y_W=c-\frac{b^2}{4a}=-10-\frac{6^2}{4*(-1)}=-10+9=-1$

а значит имеем одну ветвь параболы

$D(y)=[3;+\infty); a$

($y \leq -1$)

$y=-x^2+6x-10=-x^2+6x-9-1=-(x^2-6x+9)-1=-(x^2-2*x*3+3^2)-1$

$y=-(x-3)^2-1$

$y+1=-(x-3)^2;-y-1=(x-3)^2$

так как $y \leq -1$:  $\sqrt{-y-1}=x-3$

$x(y)=3+\sqrt{-y-1}$ --- график тот же что и у исходной функции, но "обратная" зависимость переменных

меняем обозначения (x,y)->(y,x) и получим что

$y(x)=3+\sqrt{-x-1}$, $D(y)=[-\infty; -1]$ А это уравнение обратной функции, график симметричен исходной функции относительно прямой y=x

------------------------------------------------------------------------------------

$y(x)=f(x)=-x^2+6x-10, D(y)=[3;+\infty)$

$y(x)=f^{-1} (x)=3+\sqrt{-x-1}, D(y)=[-\infty; -1]$

$f^{-1}(f(x))=x, x \geq 3$

$(3+\sqrt{-(-x^2+6x-10)-1}=3+\sqrt{x^2-6x+10-1}=3+\sqrt{x^2-6x+9}=$

$=3+\sqrt{(x-3)^2}=3+|x-3|=|| x \geq 3 || =3+x-3=x$

аналогично можно убедиться (помним только про области определения и действий функций), что

$f(f^{-1}x)=x; -(3+\sqrt{-x-1})^2+6(3+\sqrt{-x-1})-10=x, x \leq -1$

!! следует понимать что по факту есть две функции $y=f(x)$ и $y=f^{-1}x$, x всего лишь условная буква, обозначающая независимый аргумент, y - условная буква, обозначающая значение функции - на их месте могли быть и другие буквы,

более важную роль для понимания обратных функций играет сами $f()$ и $f^{-1} ()$.  (соблюдение взаимно однозначности), а х и y лишь для работы в системе координат XoY