2. В коробке 7 цветных и 5 простых карандашей одинаковой фор- мы. Исследуйте, какое наименьшее количество карандашей надо взять из коробки, не заглядывая в нее, чтобы среди них было не меньше 2 цветных и 1 простого карандашей.
По методу математической индукции: 1) n=1,тогда 11+1=12-делится на 6 2)пусть n=k, тогда для всех k натуральных выполняется: 11k^3+k делится на 6. Докажем, что 11(k+1)^3 +k+1 делится на 6. 3) доказательство: 11*(k+1)^3+k+1= 11*(k^2+2k+1)*(k+1)+k+1= 11*(k^3+3*k^2+3*k+1)+k+1= 11*k^3+k+11*(3*k^2+3*k+1)+1= (11*k^3+k)-делится на 6, тогда: 33*k^2+33*k+12= 33*k(k+1) +12 Так как k- натуральное, то минимальное значение произведения 33*k(k+1)=66-делится на 6 В итоге, так как для того что бы выражение 33*k(k+1) делилось на 6,необходимо,что бы при любом k произведение k*(k+1) было четно, что и выполняется. Тогда, сумма 33*k(k+1)+12 делится на 6,т.к все слагаемые делятся на 6 Ч. Т. Д.
1) n=1,тогда 11+1=12-делится на 6
2)пусть n=k, тогда для всех k натуральных выполняется: 11k^3+k делится на 6. Докажем, что 11(k+1)^3 +k+1 делится на 6.
3) доказательство:
11*(k+1)^3+k+1= 11*(k^2+2k+1)*(k+1)+k+1=
11*(k^3+3*k^2+3*k+1)+k+1=
11*k^3+k+11*(3*k^2+3*k+1)+1=
(11*k^3+k)-делится на 6, тогда:
33*k^2+33*k+12=
33*k(k+1) +12
Так как k- натуральное, то минимальное значение произведения 33*k(k+1)=66-делится на 6
В итоге, так как для того что бы выражение 33*k(k+1) делилось на 6,необходимо,что бы при любом k произведение k*(k+1) было четно, что и выполняется. Тогда, сумма 33*k(k+1)+12 делится на 6,т.к все слагаемые делятся на 6
Ч. Т. Д.