Дано: f(x)={x2+2x,еслиx∈[−4;1]x−−√+2,еслиx∈(1;4]
Построй график данной функции. При него найди интервалы возрастания и убывания, экстремумы (т. е. максимумы и минимумы) функции, наибольшее и наименьшее значения функции, интервалы знакопостоянства функции, чётность, нули функции и точки пересечения с осями x и y.
1. Интервал возрастания функции:
x∈(−1;4)
x∈[−1;4]
x∈(0;4)
Интервал убывания функции:
x∈(−4;−1)
x∈[−4;−1)
x∈(−4;−2)
x∈[−4;−1]
2. Экстремум функции
(в соответствующее окно вводи целое число — положительное или отрицательное):
f(
) =
.
Это
максимум функции
минимум функции
3. Наибольшее и наименьшее значения функции (в соответствующее окно вводи целое число — положительное или отрицательное):
a) наибольшее значение функции f(
) =
;
б) наименьшее значение функции f(
) =
.
4. Интервалы знакопостоянства функции:
a) функция положительна, если
x∈[−1;4]
x∈(−4;−2)∪(0;4)
x∈[−4;−2]∪[0;4]
x∈[−4;−2)∪(0;4]
б) функция отрицательна, если
x∈(−2;0]
x∈[−4;−1]
x∈[−2;0]
x∈(−2;0)
5. Функция
ни чётная, ни нечётная
чётная
нечётная
6. Нули функции (выбери несколько вариантов ответов):
x=4
x=1
x=0
x=−1
x=−2
7. Точки пересечения графика функции с осями x и y:
a) точки пересечения с осью x
и
(вводи координаты точек в возрастающей последовательности, не используй пробел);
б) точка пересечения с осью y
(вводи координаты точек, не используя пробел; у точек, у которых невозможно определить точные координаты, вводи приближенные значения до двух цифр после запятой).
x ∈ (-1;4]
Обоснование:
Для определения интервалов возрастания функции f(x), необходимо найти значения x, при которых производная функции f'(x) положительна.
Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 2x + 2, при x ∈ [-4;1]
f'(x) = 1/2√x, при x ∈ (1;4]
Выражение f'(x) > 0, заменяем x на исходные значения:
2x + 2 > 0 → x > -1
1/2√x > 0 → x > 0 (так как корень квадратный из положительного числа всегда положителен)
Следовательно, интервал возрастания функции f(x) - это x ∈ (-1;4].
2. Интервал убывания функции:
x ∈ (-4;-1)
Обоснование:
Для определения интервалов убывания функции f(x), необходимо найти значения x, при которых производная функции f'(x) отрицательна.
Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 2x + 2, при x ∈ [-4;1]
f'(x) = 1/2√x, при x ∈ (1;4]
Выражение f'(x) < 0, заменяем x на исходные значения:
2x + 2 < 0 → x < -1
1/2√x < 0 → так как корень квадратный из положительного числа всегда положителен, нет значения x, при котором производная отрицательна.
Следовательно, интервал убывания функции f(x) - это x ∈ (-4;-1).
3. Экстремум функции:
f(x) достигает минимума в точке x = -1 и максимума в точке x = 4.
Обоснование:
Для нахождения экстремумов функции f(x), необходимо знать значения производной функции f'(x) в критических точках, где производная равна 0 или не существует.
Критические точки:
f'(x) = 2x + 2, при x ∈ [-4;1]
f'(x) = 1/2√x, при x ∈ (1;4]
Для того чтобы найти экстремумы, приравниваем производную функции к 0 и решаем уравнение:
2x + 2 = 0 → x = -1
Подставляем найденные значения x в функцию f(x), чтобы найти соответствующие значения y:
f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) = 1 - 2 = -1 (минимум функции)
f(4) = 4 - √4 + 2 = 4-2+2 = 4 (максимум функции)
4. Наибольшее и наименьшее значения функции:
а) наибольшее значение функции f(x) = 4
б) наименьшее значение функции f(x) = -1
5. Интервалы знакопостоянства функции:
a) функция положительна, если x ∈ [-1;4]
б) функция отрицательна, если x ∈ (-4;-1)
6. Функция нечётная.
Обоснование:
Функция f(x) является нечётной, если выполняется условие: f(-x) = -f(x) для любого x.
Проверим:
f(-x) = (-x)^2 + 2*(-x) = x^2 - 2x
-f(x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x
Значения f(-x) и -f(x) равны, следовательно, функция f(x) является нечётной.
7. Нули функции:
x = 0 и x = -2
Обоснование:
Нули функции f(x) - это значения аргумента x, при которых f(x) = 0.
Для нахождения нулей функции, приравниваем f(x) к 0 и решаем уравнение:
x^2 + 2x = 0
x(x + 2) = 0
x = 0 или x + 2 = 0
x = 0 или x = -2
Точки пересечения графика функции с осями x и y:
a) точки пересечения с осью x: x = -2, x = 0 и x = 4
б) точка пересечения с осью y: (0, 0)