Дано:3,6,9,12,15...150
Найти Sn-?
Решение
an =3n
an (меньше или равно)150
3n(меньше или равно)150
n(меньше или равно)150/3мен.или рав.50
n=50
Sn=(a1+an)*n /2=(3+a50)*50/2=(3+150)*50/2=153*50/2=153*25= 3 825
ответ:3825
1) а) a^2*b + a*b^2 = ab*(a+b) = 4*5 = 20
б) a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2*4 = 17
2) а) 9^n - 2*3^n - 3 = 0
(3^n - 3)(3^n + 1) = 0
3^n + 1 > 0 при любом n.
3^n = 3
n = 1
б) 25^n - 2*5^n - 25 = 0
25^n - 2*5^n + 1 - 26 = 0
(5^n - 1)^2 - 26 = 0
(5^n - 1 - √26)(5^n - 1 + √26) = 0
5^n - 1 + √26 > 0 при любом n.
5^n = 1 + √26
n = log5 (1 + √26)
Если вы не поняли этого решения, значит, в задаче опечатка.
3) а) 6^31+6^30*5+6^29*5^2+ ... +6*5^30+5^31+5^32 =
= (6^32 - 5^32) / (6 - 5) + 5^32 = 6^32 - 5^32 + 5^32 = 6^32
б) 5^20+5^19*4+5^18*4^2+ ... +5*4^19+4^20-5^21 =
= (5^21 - 4^21) / (5 - 4) - 5^21 = 5^21 - 4^21 - 5^21 = -4^21
По теореме Виета
x1*x2 = c/a = -4/2 = -2
x1 + x2 = -b/a = 5/2 = 2,5
Теперь решаем
1) 1/x1^2 + 1/x2^2 = (x1^2 + x2^2)/(x1^2*x2^2)
Чтобы не путаться в скобках, я напишу числитель и знаменатель отдельно.
Числитель:
x1^2 + x2^2 = x1^2 +2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2 = (x1+x2)^2 - 2x1*x2 =
= 2,5^2 - 2(-2) = 6,25 + 4 = 10,25
Знаменатель:
x1^2*x2^2 = (x1*x2)^2 = (-2)^2 = 4
Дробь:
10,25/4 = (41/4) / 4 = 41/16
2) x1*x2^4 + x2*x1^4 = x1*x2*(x2^3+x1^3) = x1*x2*(x1+x2)(x1^2-x1*x2+x2^2) =
= (-2)*2,5*(x1^2+2x1*x2+x2^2-3x1*x2) = -5*((x1+x2)^2-3x1*x2) =
= -5*(2,5^2-3(-2)) = -5*(6,25+6) = -5*12,25 = -61,25 = -245/4
здесь нужно воспользоваться формулой арифметической прогрессии:
выпишем все эти числа - 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,
72,75,78,81,84,87,90,93,96,99,102,105,108,111,114,117,120,123,126,
129,132,135,138,141,144,147,150
формула: Sn = (2а1 + d(n-1))/2 * n
подставляем в формулу
S50 = (6 + 3*49) / 2 * 50
S50 = 3825
ответ: 3825