1) Нехай Х - вартість пуду цукру. Тоді за 500 грн. можна купити 500/Х пудів.
Отже, отримуємо рівняння
500 500
- = 5 , звідки Х = 20
Х Х + 5
Отже, вартість пуду цукру 20 грн, а було куплено 25 пудів.
2) Х * (Y + 3) = 5 * Y - 3
5 * Y - 3 18
X = = 5 -
Y + 3 Y + 3
Отже, розв'язок буде цілим, якщо 18 ділиться без остачі на Y + 3 .
Тоді Y1 = -21 , Y2 = -12 , Y3 = -9 , Y4 = -6 , Y5 = -5 , Y6 = -4 , Y7 = -2 ,
Y8 = -1 , Y9 = 0 , Y10 = 3 , Y11 = 6 , Y12 = 15.
Відповідно Х1 = 6 , X2 = 7 , X3 = 8 , X4 = 11 , X5 = 14 , X6 = 23 , X7 = -13 ,
X8 = -4 , X9 = -1 , X10 = 2 , X11 = 3 , X12 = 4.
3) Якщо Х - кількість задач, які учень розв'язав правильно, а Y - кількість задач, які він розв'язав неправильно, то 8 * Х - 5 * Y = 13 (X + Y <= 20).
Єдиний розв'язок X = 6 , Y = 7 , тобто учень намагався розв'язати 13 задач.
4) Нехай в поході брали учать Х жінок та Y дітей. Тоді чоловіків було
20 - X - Y , а загальна маса вантажу складала
20 * (20 - X - Y) + 5 * X + 3 * Y = 400 - 15 * X - 17 * Y = 200
або 15 * X + 17 * Y = 200 . Оскільки Y ділиться на 5 , а Y = 5 не підходить, то Y = 10 , Х = 2 .
Отже, в похід пішли 2 жінки, 10 дітей та 20 - 2 - 10 = 8 чоловіків
ctg(2x) имеет множество значений (-inf;+inf). ctg(2x)+sin(x) тоже имеет множество значений (-inf;+inf). Поэтому прямая y=3-p имеет хотя бы одну общую точку с y=ctg(2x)+sin(x) при любых значениях p.
ответ: при любых значениях p.
2) Пусть задача поставлена для функции y=ctg²(x)+sin(x).
y=cos²(x)/sin²(x)+sin(x)=(1-sin²(x))/sin²(x)+sin(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1
Требуется определить множество значений этой функции. Пусть sin(x) = t. Тогда y(x)=f(t)=1/t²+t-1. Наибольшее и наименьшее значения будем искать на отрезке t∈[-1;1], так как t=sin(x).
f'(t)=-2/t³+1=(t³-2)/t³.
Нули числителя: t=∛2
Нули знаменателя: t=0.
Расположим эти точки на числовой прямой.
f'>0 f'>0 f'<0 f'<0 f'>0
-1 0 1 ∛2 >
f ↑ ↑ ↓ ↓ ↑
На отрезке [-1;1] функция возрастает с -1 до 0-. Затем с 0+ до 1 убывает. Это значит, что наименьшее значение на отрезке [-1;1] достигается на одном из его концов. То есть min(f(-1),f(1))=min(1/(-1)²-1-1, 1/1²+1-1)=-1.
При стремлении t к 0- и к 0+ функция f(t) принимает сколь угодно большие значения. Поэтому множество значений функции f(t) и y(x) равно [-1;+inf).
y=3-p - горизонтальная прямая. Она имеет общую точку с графиком функции y(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1, если пересекает множество значений y(x). Таким образом, 3-p>=-1, p<=4.
ответ: при p<=4.