Question

Найдите производные 1) f(x)=sin x *(cosx-1) 2) f(x)=x^2*ctgx 3) f(x)=cos x (1+sinx) 4) f(x)=x^3*tgx (решение опишите подробно)

Answer 1

$1) f(x)=sinx*(cosx-1)\\ f'(x)=cosx*(cosx-1)+sinx*(-sinx)=\\ =cos^2x-cosx-sin^2x$

Дальше можно упрощать, конечно, но оно впринципе не трубется. Нас просят найти производную.

Находится здесь как производная произведения (u*v)'=u'*v+u*v'

Собственно дальше думаю понятно, что (sinx)'=cosx, (cosx-1)'=-sinx

$2) f(x)=x^2*ctgx; \ \\\ f'(x)=2x*ctgx+x^2(-\frac{1}{sin^2x})=2x*ctgx-\frac{x^2}{sin^2x}$

опять же производная произведения. x^2 дифференцируется как степенная функция, ctgx - табличное значение, (ctgx)'=-1/sin^2x

$3)f(x)=cosx (1+sinx)\\ f'(x)=-sinx(1+sinx)+cosx*cosx=\\-sinx-sin^2x+cos^2x= cos^2x-sinx-sin^2x$

пример аналогичен первому, и снова производная произведения.

(cosx)'=-sinx, (1+sinx)'=cosx

$4)f(x)=x^3*tgx\\ f'(x)=3x^2*tgx+x^3*\frac{1}{cos^2x}=3x^2*tgx+\frac{x^3}{cos^2x}$

опять же можно упростить, вынести x, в степень взять и т.д., и т.п., но этого не трубется.

x^3 степенная функция, (x^3)'=3x^2, tgx табличное значение, (tgx)'=1/cos^2x

дифференцируется опять же как производная произведения.