Для решения этой задачи нам понадобится использовать бином Ньютона и формулу суммы биномиальных коэффициентов.
Бином Ньютона гласит, что для раскрытия выражения (a+b)^n можно использовать следующую формулу:
(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n
Где C(n,k) - биномиальный коэффициент, равный n!/(k!(n-k)!) , где ! обозначает факториал.
В нашем случае нам известно, что сумма всех биномиальных коэффициентов равна 128. Значит, мы можем записать уравнение:
C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n-1) + C(n,n) = 128
Теперь рассмотрим каждый отдельный биномиальный коэффициент C(n,k). Мы знаем, что C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Из этого следует, что:
C(n,0) = n!/(0!(n-0)!) = n!/(n!) = 1
C(n,1) = n!/(1!(n-1)!) = n!/(1*(n-1)!) = n
C(n,2) = n!/(2!(n-2)!)
...
Заметим, что первый и последний биномиальные коэффициенты равны 1. Это значит, что их сумма всегда равна 2. Мы можем это использовать в нашем уравнении:
1 + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n-2) + C(n,n-1) + 1 = 128
Мы видим, что нам нужно найти значение n, для которого сумма всех остальных биномиальных коэффициентов равна 126.
Теперь рассмотрим сумму всех биномиальных коэффициентов. Мы знаем, что сумма всех биномиальных коэффициентов в разложении бинома (a+b)^n равна 2^n. В нашем случае эта сумма равна 128. Это значит, что 2^n = 128.
Чтобы найти n, нужно найти значение степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 128. Очевидно, что это 2^7 = 128.
