Question

Дана функция y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4). Найдите все значения параметра k, при которых прямая y=k имеет с графиком данной функции ровно три общие точки. В ответе запишите сумму всех возможных значений параметра k.

Answer 1

$k=\frac{9}{16}$

Объяснение:

Сделаем замену $x=t-\frac{5}{2}$

Подставим в исходную функцию, мы получим

$y=(t-\frac{3}{2})(t+\frac{3}{2})(t-\frac{1}{2})(t+\frac{1}{2})=t^{4}-\frac{5t^{2} }{2}+\frac{9}{16}$

Найдем экстремумы данной функции. Для этого вычислим ее производную и приравняем ее к нулю.

$y'=4t^{3}-5t=t(4t^{2}-5)=0\\t_{1}=-\frac{\sqrt{5} }{2} ; t_{2}=0 ; t_{3}=\frac{\sqrt{5} }{2}$

$t_{2} -$ точка максимума

$t_{1},t_{3} -$ точки минимума

График функции приведен ниже.

Прямая y=k пересекается с графиком ровно в трех точках, если она проходит через точку максимума данной функции, а именно точку с координатами $(0,\frac{9}{16})$. Значит $k=\frac{9}{16}$