Question

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Answer 1

$1)\\y''+2'+5y=0\\k^2+2k+5=0\\k_1=-1\\k_2=-2\\y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}\\y'=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x}\\\left \{ {{C_1+C_2=-1} \atop {-C_1-2C_2=3}} \right.;\left \{ {{C_1=-2} \atop {C_2=1}} \right.\\y=e^{-x}+2e^{-2x}\\$

$2)\\y''-14y'+49y=0\\k^2-14k+49=0\\(k-7)^2=0\\k_{1,2}=1\\y=C_1e^{7x}+C_2e^{7x}x\\y'=7C_1e^{7x}+e^{7x}C_2+7e^{7x}xC_2\\\left \{ {{e^7C_1+e^7C_2=1} \atop {7e^7C_1+8e^7C_2=6}} \right. ;\left \{ {{C_1=\frac{2}{e^7}} \atop {C_2=-\frac{1}{e^7}}} \right. \\y=\frac{2}{e^7}e^{7x}-\frac{1}{e^7}e^{7x}x$

$3)\\y''+2y'+5y=0\\k^2+2k+5=0\\D/4=1-5=-4\\k_{1,2}=-1\pm 2i\\y=C_1e^{-x}\cos(2x)+C_2e^{-x}\sin(2x)$