Пусть сторона квадрата х см, тогда длина прямоугольника (3х) см, а ширина прямоугольника - (х - 5) см.
Т.к. площадь квадрата находят по формуле S = а², где а - сторона квадрата, о площадь данного квадрата равна (х²) см².
А т.к площадь прямоугольника находят по формуле S = a · b, где a и b - длина и ширина прямоугольника, то площадь данного прямоугольника будет равна S = 3х · (х - 5) = 3х² - 15х (см²).
Т.к. площадь квадрата на 50 см² меньше площади прямоугольника, то составим и решим уравнение:
3x² - 15х = x² + 50,
3x² - x² - 15x - 50 = 0,
2x² - 15x - 50 = 0,
D = (-15)² - 4 · 2 · (-50) = 225 + 400 = 625 ; √625 = 25,
x₁ = (15 + 25)/(2 · 2) = 40/4 = 10,
x₂ = (15 - 25)/(2 · 2) = -10·/4 = -2,5 - не подходит по условию задачи.
Значит, сторона квадрата равна 10 см.
ответ: 10 см.
Обозначим S = sin(pi/7)sin(2pi/7)sin(3pi/7) и
C = cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(3pi/7)
Тогда S*C = sin(pi/7)sin(2pi/7)sin(3pi/7)cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(3pi/7) =
(sin(pi/7)cos(pi/7))*(sin(2pi/7)cos(2pi/7))*(sin(3pi/7)cos(3pi/7)) =
(1/2*sin(2pi/7))*(1/2*sin(4pi/7))(1/2*sin(6pi/7)) =
1/8*sin(2pi/7)*sin(4pi/7)*sin(6pi/7) = 1/8*sin(2pi/7)*sin(3pi/7)*sin(pi/7) = 1/8*S
T.e. S*C = 1/8*S, S не ноль, следовательно C = 1/8
Мы доказали, что
cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(3pi/7) = 1/8
Теперь решим пример:
cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7) = (cos(2pi/7)+cos(4pi/7)) + cos(2*(3pi/7)) =
2cos(3pi/7)cos(pi/7) + 2cos(3pi/7)cos(3pi/7) - 1 =
2cos(3pi/7)*(cos(pi/7) + cos(3pi/7)) - 1 = 2cos(3pi/7)*2cos(2pi/7)cos(pi/7) - 1 =
4cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(3pi/7) - 1 = 4*1/8 - 1 = -1/2